7. Zadatak

$\overline{abcd}$ je četveroznamenkasti broj, a $\overline{abc}$ i $\overline{bcd}$ su troznamenkasti brojevi pa vrijedi $a,b\neq0$.

Ako je $\overline{abc}$ djeljiv s $4$, onda je dvoznamenkasti završetak $\overline{bc}$ djeljiv s $4$, pa dvoznamenkasti završeci mogu biti:

$$12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96.$$

Za osam dvoznamenkastih završetaka, $12$, $24$, $36$, $48$, $60$, $72$, $84$ i $96$, vrijedi da im je zbroj znamenaka djeljiv s $3$ pa znamenku $d$ možemo izabrati na četiri načina, tj. $d\in\{0,3,6,9\}$.

Kako znamenku $a$ možemo izabrati na $9$ načina takvih četveroznamenkastih brojeva ima

$$8\cdot9\cdot4=288.$$

Za preostalih četrnaest dvoznamenkastih završetaka vrijedi da im zbroj znamenaka nije djeljiv s $3$ pa znamenku $d$ možemo izabrati na $3$ načina, tj. $d\in\{1,4,7\}$ ili $d\in\{2,5,8\}$.

Kako znamenku $a$ možemo izabrati na $9$ načina takvih četveroznamenkastih brojeva ima

$$14\cdot9\cdot3=378.$$

Takvih četveroznamenkastih brojeva ima $288+378=666$.

Npr.: Prvi dvoznamenkasti broj djeljiv s četiri je $12$, a posljednji $96$.

Kako je $12=3\cdot4$, a $96=24\cdot4$, ukupno ima $24-2=22$ takva višekratnika broja četiri.

Od tih $22$ višekratnika broja četiri, svaki treći je i višekratnik broja tri. Prvi takav je $12$, a posljednji $96$.

Kako je $12=3\cdot4=(1\cdot3)\cdot4$, a $96=24\cdot4=(8\cdot3)\cdot4$, ukupno ima $8$ takvih višekratnika broja tri.