4. Zadatak

Prvo rješenje.

$$n=9+99+999+\cdots+\underbrace{999\ldots999}_{99\text{ znamenaka}}.$$

Prvi pribrojnik ima $1$ znamenku, drugi dvije, treći $3$ znamenke, a posljednji $99$ znamenki pa je ukupan broj pribrojnika $99$.

$$n=9+90+9+900+90+9+\cdots+9\underbrace{00\ldots00}_{98\text{ nula}}+9\underbrace{00\ldots00}_{97\text{ nula}}+\cdots+900+90+9=$$ $$n=99\cdot9+98\cdot90+97\cdot900+96\cdot9000+95\cdot90000+\cdots+2\cdot9\underbrace{00\ldots00}_{98\text{ nula}}+9\underbrace{00\ldots00}_{97\text{ nula}}.$$

$99\cdot9=891$, na dekadskom mjestu jedinica je znamenka $1$

$98\cdot90+890=8820+890=9710$, na mjestu desetica je $1$

$97\cdot900+9700=87300+9700=97000$, na mjestu stotica je $0$

$96\cdot9000+97000=864000+97000=961000$, na mjestu tisućica je $1$

$95\cdot9+96=855+96=951$, na mjestu deset tisućica je $1$

$94\cdot9+95=94\cdot9+94+1=94\cdot10+1$, na mjestu sto tisućica je $1$

$93\cdot9+94=93\cdot9+93+1=93\cdot10+1$, na mjestu milijuna je $1$

$92\cdot9+93=92\cdot9+92+1=92\cdot10+1$, na mjestu deset milijuna je $1$

$91\cdot9+92=91\cdot9+91+1=91\cdot10+1$, na mjestu sto milijuna je $1$

$90\cdot9+91=90\cdot9+90+1=90\cdot10+1$, na mjestu milijarda je $1$

$89\cdot9+90=89\cdot9+89+1=89\cdot10+1$, na mjestu deset milijarda je $1$

$88\cdot9+89=88\cdot9+88+1=88\cdot10+1$, na mjestu sto milijarda je $1$

$\vdots$

$4\cdot9+5=4\cdot9+4+1=4\cdot10+1$, na $96.$ mjestu brojeći od dekadskog mjesta jedinica je $1$

$3\cdot9+4=3\cdot9+3+1=3\cdot10+1$, na $97.$ mjestu brojeći od dekadskog mjesta jedinica je $1$

$2\cdot9+3=2\cdot9+2+1=2\cdot10+1$, na $98.$ mjestu brojeći od dekadskog mjesta jedinica je $1$

$1\cdot9+2=1\cdot9+1+1=1\cdot10+1=11$, na prva dva vodeća mjesta su jedinice

$n=11111\ldots111111111011$, $n$ ima $100$ znamenki, na dekadskom mjestu stotica je $0$.

Zbroj svih znamenki je $99$.

Drugo rješenje.

Zbroj	Pomoćne radnje
$9$	$9\cdot99=891$ pišemo $1$ pribrajamo $89$
$99$	$9\cdot98+89=971$ pišemo $1$ pribrajamo $97$
$999$	$9\cdot97+97=970$ pišemo $0$ pribrajamo $97$
$9999$	$9\cdot96+97=961$ pišemo $1$ pribrajamo $96$
$99999$	$9\cdot95+96=951$ pišemo $1$ pribrajamo $95$
$\vdots$	$9\cdot94+95=941\ldots$
$+\ 99999\ldots9999$	$9\cdot93+94=931$
$11111\ldots11011$	$9\cdot92+93=921$ $\vdots$ $9\cdot11+12=111$ $9\cdot10+11=101$ $9\cdot9+10=91$ $\vdots$ $9\cdot2+3=21$ pišemo $1$ pribrajamo $2$ $9\cdot1+2=11$ pišemo $11$

U rješenju ima $99$ znamenki $1$ i jedna znamenka $0$, tako da je znamenki ukupno $100$, a zbroj znamenki je $99\cdot1+0=99$.

Treće rješenje.

Vrijedi

$$\underbrace{999\ldots999}_{n\text{ znamenaka}}=\underbrace{1000\ldots000}_{n+1\text{ znamenaka}}-1.$$

Zato je

$$n=9+99+999+\cdots+\underbrace{999\ldots999}_{99\text{ znamenaka}}$$ $$=\underbrace{1111\ldots1110}_{100\text{ znamenaka}}-99\cdot1$$ $$=\underbrace{1111\ldots1110}_{100\text{ znamenaka}}-99$$ $$=\underbrace{1111\ldots1011}_{100\text{ znamenaka}}.$$

Zbroj znamenaka broja $n$ je $99$.

Broj $n$ ima $100$ znamenaka.