3. Zadatak

Ako $|DE|$ označimo s $x$, tada iz $|DE|=\frac12|EC|$ slijedi da je $|EC|$ dvostruko dulja od $|DE|$, odnosno

$$|EC|=2x.$$

Označimo s $x$ na skici sve duljine koje su jednake kao $|DE|$ odnosno $|BG|$.

Tada je $|EC|=2x$ i $|DC|=|AB|=x+2x=3x$.

Označimo s $y$ sve duljine jednake $|GC|$.

Prvi način:

Neka je točka $H$ takva da su $EDHF$ i $ABGH$ pravokutnici. Označimo njihove površine redom $P_1$ i $P_2$, a površinu pravokutnika $CEFG$ označimo s $P_3$.

Vrijedi

$$P_1=x\cdot y, \qquad P_2=3x\cdot x, \qquad P_3=2x\cdot y.$$

Iz uvjeta znamo da je $P_1+P_2=P_3$, iz čega slijedi jednakost: $x\cdot y+3x\cdot x=2x\cdot y$.

Na lijevoj strani primijenimo distributivnost množenja prema zbrajanju te lijevu i desnu stranu jednakosti podijelimo s $x$ (što smijemo jer duljina $x$ nije $0$):

$$x\cdot(y+3x)=2x\cdot y,$$ $$y+3x=2y, \quad \text{tj. dobivamo } y=3x.$$

Drugi način:

Uvjet da su bijela i crna površina jednake zapravo znači da je površina pravokutnika $ABCD$ dvostruko veća od površine pravokutnika $FGCE$.

Uz oznake kao na skici slijedi:

$$P_{ABCD}=3x\cdot(x+y)$$ $$P_{FGCE}=2x\cdot y$$ $$P_{ABCD}=2\cdot P_{FGCE}$$ $$3x\cdot(x+y)=2\cdot2x\cdot y$$ $$3x\cdot(x+y)=4x\cdot y\ /:x,$$

smijemo dijeliti i lijevu i stranu jednakosti s $x$ jer je $x\ne0$.

$3(x+y)=4y$ primijenimo distributivnost množenja prema zbrajanju na lijevoj strani jednakosti,

$3x+3y=4y$ te s obje strane jednakosti oduzmemo $3y$,

jednakost se neće promijeniti, a dobit ćemo da je $y=3x$.

Za oba načina slijedi zaključak:

Na dužini $\overline{BC}$ označili smo $|BG|=x$ i $|GC|=y$.

Točka $G$ pripada dužini $\overline{BC}$ pa iz dobivenog izraza slijedi da vrijedi

$$|BC|=|BG|+|GC|=x+3x=4x.$$

Iz $|DE|=x$ i $|BC|=4x$ slijedi da je $\overline{BC}$ $4$ puta dulja od $\overline{DE}$.