5. Zadatak

Neka je $m=\left|n^2-100\right|$.

Vrijedi

$$m=\left|n^2-100\right|=\left|(n-10)(n+10)\right|.$$

Broj $m$ je prost ako i samo ako je jedan od brojeva $|n-10|$ i $|n+10|$ jednak 1, a drugi je prost broj.

Uočimo da nema prirodnih brojeva $n$ za koje je $|n+10|=1$.

Nađimo sve prirodne brojeve $n$ za koje je $|n-10|=1$.

Ako je $|n-10|=1$, tada je $n=9$ ili $n=11$.

Za $n=9$ je $m=|(n-10)(n+10)|=19$, što je prost broj.

Za $n=11$ je $m=|(n-10)(n+10)|=21$, a to nije prost broj.

Dakle, postoji samo jedan prirodan broj $n$ za koji je $|n^2-100|$ prost broj, a to je $n=9$.