6. Zadatak

Prvi način:

Iz površine kvadrata $IJKL$ možemo izračunati duljinu stranice tog kvadrata. Označimo duljinu stranice kvadrata $IJKL$ s $y$. Iz uvjeta zadatka vrijedi:

$$y^2=200,$$

pa je $y=10\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$.

Duljinu stranice kvadrata $EFGH$ označimo s $a$. Neka je $x=\frac{a}{2}$. Tada vrijedi:

$$y=x\sqrt{2},$$

pa je $10\sqrt{2}=x\sqrt{2}$, odnosno $x=10\ \mathrm{dm}$.

Duljina stranice kvadrata $EFGH$ iznosi $a=20\ \mathrm{dm}$.

Omjer kateta pravokutnog trokuta $AFE$ je $3:4$. Neka je $|EA|=3k$ i $|AF|=4k$.

Prema Pitagorinom poučku vrijedi

$$(3k)^2+(4k)^2=20^2,$$

pa je $25k^2=400$, odnosno $k^2=16$, $k=4$.

Duljina stranice kvadrata $ABCD$ iznosi $|AF|+|FB|=|AF|+|EA|=16+12=28\ \mathrm{dm}$.

Površina kvadrata $ABCD$ iznosi

$$p_{ABCD}=28^2=784\ \mathrm{dm}^2.$$

Drugi način:

Nacrtajmo dijagonale $\overline{IK}$ i $\overline{JL}$ kvadrata $IJKL$. Neka se te dijagonale sijeku u točki $S$. Njima smo kvadrat $IJKL$ podijelili na 4 sukladna trokuta $IJS$, $JKS$, $KLS$ i $LIS$.

(Dijagonale kvadrata su jednake i raspolavljaju se, stranice kvadrata su jednake, pa tvrdnja slijedi po poučku SSS.)

Trokuti $IEJ$, $JFK$, $KGL$ i $LHI$ su jednakokračni pravokutni. I oni su sukladni jer su im katete jednake polovini stranice kvadrata $EFGH$ (po poučku SKS).

Također vrijedi da su svi trokuti $IJS$, $JKS$, $KLS$, $LIS$, $IEJ$, $JFK$, $KGL$ i $LHI$ međusobno sukladni, jer su jednakokračni pravokutni i imaju jednake hipotenuze.

Dakle, za površine kvadrata $EFGH$ i $IJKL$ vrijedi:

$$p_{EFGH}=8p_{IEJ},\quad p_{IJKL}=4p_{IEJ},$$ $$p_{EFGH}=2p_{IJKL}=2\cdot200=400\ \mathrm{dm}^2.$$

Prema tome, duljina stranice kvadrata $EFGH$ iznosi 20 dm.

Omjer kateta pravokutnog trokuta $AFE$ je $3:4$. Neka je $|EA|=3k$ i $|AF|=4k$.

Prema Pitagorinom poučku vrijedi

$$(3k)^2+(4k)^2=20^2,$$

pa je $25k^2=400$, odnosno $k^2=16$, $k=4$.

Duljina stranice kvadrata $ABCD$ iznosi $|AF|+|FB|=|AF|+|EA|=16+12=28\ \mathrm{dm}$.

Površina kvadrata $ABCD$ iznosi

$$p_{ABCD}=28^2=784\ \mathrm{dm}^2.$$