7. Zadatak

Prvi način:

Ako je $x$ srednji broj po veličini, onda sve brojeve možemo zapisati kao $x-2$, $x-1$, $x$, $x+1$ i $x+2$.

Tada je

$$(x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=$$ $$=x^2-4x+4+x^2-2x+1+x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4=$$ $$=5x^2+10=5(x^2+2).$$

Izraz $5(x^2+2)$ je djeljiv brojem 5.

Kada bi izraz $5(x^2+2)$ bio djeljiv brojem 25, faktor $x^2+2$ bi morao biti djeljiv brojem 5.

Dakle, $x^2+2\in\{5,10,15,20,\ldots\}$, tj. $x^2\in\{3,8,13,18,\ldots\}$.

Budući da kvadrat prirodnog broja nikada ne završava znamenkom 3 ni znamenkom 8, faktor $x^2+2$ nije djeljiv brojem 5, što znači da izraz $5(x^2+2)$ nije djeljiv s 25.

Drugi način:

Ako je $x$ najmanji broj po veličini, onda sve brojeve možemo zapisati kao $x$, $x+1$, $x+2$, $x+3$ i $x+4$.

Tada je

$$x^2+(x+1)^2+(x+2)^2+(x+3)^2+(x+4)^2=$$ $$=x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4+x^2+6x+9+x^2+8x+16=$$ $$=5x^2+20x+30=5(x^2+4x+6).$$

Izraz $5(x^2+4x+6)$ je djeljiv brojem 5.

Kada bi izraz $5(x^2+4x+6)$ bio djeljiv brojem 25, faktor $x^2+4x+6$ bi morao biti djeljiv brojem 5.

Ako je $x$ djeljiv s 5, onda $x^2+4x+6$ daje ostatak 1 pri dijeljenju s 5.

Ako je $x$ oblika $5k+1$ za neki prirodan broj $k$, onda $x^2+4x+6$ daje ostatak 1 pri dijeljenju s 5.

Ako je $x$ oblika $5k+2$ za neki prirodan broj $k$, onda $x^2+4x+6$ daje ostatak 3 pri dijeljenju s 5,

Ako je $x$ oblika $5k+3$ za neki prirodan broj $k$, onda $x^2+4x+6$ daje ostatak 2 pri dijeljenju s 5.

Ako je $x$ oblika $5k+4$ za neki prirodan broj $k$, onda $x^2+4x+6$ daje ostatak 3 pri dijeljenju s 5.

Dakle, $x^2+4x+6$ nije djeljiv brojem 5, pa izraz $5(x^2+4x+6)$ nije djeljiv s 25.