5. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako bi zbroj bio paran ili neparan nije bitno koji su pribrojnici, već jesu li oni parni ili neparni.

Među brojevima koje upisujemo u tablicu dva su broja neparna, a četiri parna. Zbroj u oba retka bit će paran ako se u retku ne pojavljuje neparan broj (sva tri su parna) ili su u retku oba neparna broja.

Parne (P) i neparne (N) brojeve u tablicu je, prema uvjetima zadatka, moguće rasporediti na sljedećih $6$ načina.

U svakom od tih šest rasporeda različite parne brojeve moguće je upisati na $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ načina, ali zbog toga što se broj $18$ pojavljuje dvaput, ima $24:2=12$ načina.

Neparne brojeve možemo upisati na $2$ načina.

Konačno, zadane je brojeve moguće u tablicu upisati na $6\cdot12\cdot2=144$ različitih načina.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da neparni brojevi moraju biti u istom retku.

Upišimo neparne brojeve $13$ i $17$ u isti redak. Redak je moguće odabrati na $2$ načina. U odabranom retku te brojeve možemo razmjestiti na $3\cdot2=6$ načina.

Treći broj u tom odabranom retku je neki od preostalih. Promotrimo dva slučaja.

Prvi slučaj. Ako u redak s brojevima $13$ i $17$ upišemo broj $18$, onda u preostalom retku brojeve $10$, $18$ i $20$ možemo rasporediti na $3\cdot2\cdot1=6$ načina.

Drugi slučaj. Ako u redak s brojevima $13$ i $17$ ne upišemo broj $18$, tada moramo upisati jedan od brojeva $10$ ili $20$, tj. broj koji upisujemo možemo odabrati na $2$ načina. Tada u preostali redak moramo upisati jedan od brojeva $10$ i $20$ koji već nismo upisali. To možemo učiniti na $3$ načina. U svako od preostala dva polja upisujemo broj $18$.

Tada je ukupan broj mogućnosti jednak: $2\cdot6\cdot(6+2\cdot3)=144$.

Treće rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da neparni brojevi moraju biti u istom retku.

Najprije u tablicu upisujemo prvi neparan broj na $6$ načina. Za drugi neparan broj polje u istom retku možemo odabrati na $2$ načina.

Zatim upisujemo parne brojeve različite od $18$ za što imamo $4\cdot3=12$ načina.

Na kraju u preostala dva polja još upisujemo dva broja $18$ na jedan način.

Ukupan broj načina je $6\cdot2\cdot12=144$.

Četvrto rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da neparni brojevi moraju biti u istom retku.

Najprije u tablicu upisujemo dva broja $18$ i promatramo dva slučaja.

Ako oba broja upisujemo u isti redak, polja u koja ih upisujemo možemo odabrati na $6$ načina.

Ako brojeve upisujemo u različite retke, polja u koja ih upisujemo možemo odabrati na $9$ načina.

Nakon toga upisujemo preostale brojeve. U prvom slučaju u retku s brojevima $18$ mora biti još jedan paran broj, možemo ga odabrati na $2$ načina, pa dobivamo $12$ načina.

U drugom slučaju moramo rasporediti brojeve $13$ i $17$ te $10$ i $20$ u različite retke što daje $8$ različitih načina.

Ukupan broj načina je $6\cdot12+9\cdot8=144$.