3. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ traženi prirodni brojevi. Budući da je najveći zajednički djelitelj $\mathrm{D}(a,b)$ različit od najmanjeg zajedničkog višekratnika $\mathrm{V}(a,b)$ zaključujemo da su $a$ i $b$ različiti brojevi. Pretpostavimo da vrijedi $a<b$. Nadalje, vrijedi

$$\mathrm{D}(a,b)=12=2\cdot2\cdot3,$$ $$\mathrm{V}(a,b)=240=2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot2\cdot5.$$

Kako je $\mathrm{D}(a,b)=12$, brojevi $a$ i $b$ su oblika

$$a=2\cdot2\cdot3\cdot x,$$ $$b=2\cdot2\cdot3\cdot y,$$

pri čemu su $x$ i $y$ različiti djelitelji broja $2\cdot2\cdot5=20$ i vrijedi $x\cdot y=20$.

Kako je $a<b$, onda je i $x<y$. Brojevi $x$ i $y$ moraju biti relativno prosti, umnožak im je $20$, pa su jedine mogućnosti $(x,y)=(4,5)$ i $(x,y)=(1,20)$.

Za $(x,y)=(4,5)$ dobivamo da je $a=2\cdot2\cdot3\cdot4=48$ i $b=2\cdot2\cdot3\cdot5=60$. Za $(x,y)=(1,20)$ dobivamo da je $a=2\cdot2\cdot3\cdot1=12$ i $b=2\cdot2\cdot3\cdot20=240$.

Prema uvjetu zadatka mora vrijediti da je $a+b=108$.

Traženi prirodni brojevi su $48$ i $60$.

Drugo rješenje.

Za prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi da je njihov umnožak jednak umnošku njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja $\mathrm{D}(a,b)$ i njihovog najmanjeg zajedničkog višekratnika $\mathrm{V}(a,b)$, tj. $a\cdot b=\mathrm{D}(a,b)\cdot\mathrm{V}(a,b)$.

Neka su traženi brojevi $a$ i $b$. Prema uvjetima zadatka je $a\cdot b=12\cdot240$.

Rastavimo li umnožak $a\cdot b$ na proste faktore dobit ćemo $a\cdot b=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5$.

Uočimo da je jedan od traženih brojeva djeljiv s $5$ jer se u rastavu umnoška $a\cdot b$ pojavljuje jedan faktor $5$. Neka je to broj $a$.

Kako je $\mathrm{D}(a,b)=12$, oba su broja djeljiva i s $12$. Brojevi $5$ i $12$ su relativno prosti pa je broj $a$ djeljiv sa $60$.

Ako je $a=60$, tada je $b=48$ jer je, prema uvjetu zadatka, $a+b=108$. Za brojeve $a$ koji su veći od $60$, zbroj $a+b$ je veći od $108$.

Slijedi da su traženi prirodni brojevi $48$ i $60$.