4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $s$ broj pogodaka u središte mete, $m$ broj pogodaka u ostale dijelove mete i $p$ broj promašaja, pri čemu je $s,m,p\in\mathbb{N}_0$ i $s+m+p=16$.

Vrijedi $9s+5m-3p=0$.

Kako je izraz $3p-9s$ djeljiv je s $3$, iz $5m=3p-9s$ zaključujemo da $5m$ mora biti djeljivo s $3$, odnosno $m$ mora biti djeljiv s $3$.

Odredimo moguće trojke $(m,s,p)$ brojeva tako da u izraz $3p=9s+5m$ uvrštavamo brojeve $m$ djeljive s $3$ i promatramo moguće vrijednosti za $s$ i $p$. U zadnjem stupcu provjeravamo vrijedi li $s+m+p=16$.

$m$	$3p=9s+5m$	$s$	$p$	broj hitaca u seriji $s+m+p$
$0$	$p=3s$	$0$	$0$	$0$
		$1$	$3$	$4$
		$2$	$6$	$8$
		$3$	$9$	$12$
		$4$	$12$	$16$
		$5$	$15$	$20$
$3$	$p=3s+5$	$0$	$5$	$8$
		$1$	$8$	$12$
		$2$	$11$	$16$
		$3$	$14$	$20$
$6$	$p=3s+10$	$0$	$10$	$16$
		$1$	$13$	$20$
$9$	$p=3s+15$	$0$	$15$	$24$

Za $m\geq9$, zbroj $s+m+p$ će biti veći od $16$, a to nije moguće

Dobili smo tri mogućnosti koje zadovoljavaju uvjete zadatka. U prvoj je broj pogodaka u središte mete $4$, a broj promašaja $12$, u drugoj $2$ i $11$, a u trećoj $0$ i $10$.

Drugo rješenje.

Neka je $s$ broj pogodaka u središte mete, $m$ broj pogodaka u ostale dijelove mete i $p$ broj promašaja, pri čemu je $s,m,p\in\mathbb{N}_0$ i $s+m+p=16$. Vrijedi $9s+5m-3p=0$.

Iz $s+m+p=16$ slijedi da je $3s+3m+3p=48$, odnosno $3p=48-3s-3m$. Kako je $9s+5m=3p$, vrijedi $9s+5m=48-3s-3m$, odnosno $12s+8m=48$, tj. $3s+2m=12$.

Broj $12$ djeljiv je s $3$ i zapisan je kao zbroj pribrojnika $3s$ i $2m$. Budući da je pribrojnik $3s$ sigurno djeljiv s $3$, tada i $2m$ mora biti djeljiv s $3$, odnosno $m$ mora biti djeljiv s $3$.

Uvrštavamo brojeve $m$ djeljive s $3$, te iz $3s+2m=12$ i $p=16-s-m$ određujemo brojeve $s$ i $p$.

1. Za $m=0$ je $3s=12$, pa je $s=4$ i $p=12$.
2. Za $m=3$ je $3s=6$, pa je $s=2$ i $p=11$.
3. Za $m=6$ je $3s=0$, pa je $s=0$ i $p=10$.

Uočimo da će za $m>6$ broj $s$ biti negativan, a to nije moguće.

Dobili smo tri mogućnosti koje zadovoljavaju uvjete zadatka. U prvoj je broj pogodaka u središte mete $4$, a broj promašaja $12$, u drugoj $2$ i $11$, a u trećoj $0$ i $10$.

Treće rješenje.

Neka je $s$ broj pogodaka u središte mete, $m$ broj pogodaka u ostale dijelove mete i $p$ broj promašaja, pri čemu je $s,m,p\in\mathbb{N}_0$ i $s+m+p=16$. Vrijedi $9s+5m-3p=0$.

Iz $s+m+p=16$ slijedi da je $5s+5m+5p=80$, odnosno $5m=80-5s-5p$. Kako je $5m=3p-9s$, tada vrijedi $3p-9s=80-5s-5p$, odnosno $8p-4s=80$ tj. $2p-20=s$.

Zaključujemo da broj $s$ mora biti paran broj.

Uvrštavamo parne brojeve $s$ u izraz $2p-s=20$, te određujemo $p$.

1. Za $s=0$ je $2p=20$, pa je $p=10$.
2. Za $s=2$ je $2p=22$, pa je $p=11$.
3. Za $s=4$ je $2p=24$, pa je $p=12$.

U svakoj od dobivenih mogućnosti $m$ možemo izračunati iz $m=16-s-p$.

Uočimo da će za $s>4$ biti $s+p>16$, a to nije moguće.

Dobili smo tri mogućnosti koje zadovoljavaju uvjete zadatka. U prvoj je broj pogodaka u središte mete $4$, a broj promašaja $12$, u drugoj $2$ i $11$, a u trećoj $0$ i $10$.