6. Zadatak

Za četverokut $ABCD$ , u kojem su mjere svih unutarnjih kutova manje od $180^\circ$ , vrijedi $|AB|=|AC|=|AD|$ i $|\angle CAD|=2|\angle BAC|$ . Dokaži da je $|BS|=|BC|$ , gdje je točka $S$ sjecište dijagonala $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ .

Prvo rješenje.

Neka je $|\angle BAC|=\alpha$ i $|\angle CAD|=2\alpha$ .

Četverokut ABCD s jednakim dužinama AB, AC i AD

Budući da je $|AB|=|AD|$ slijedi

|\angle SBA|=|\angle ADS|=\frac{180^\circ-3\alpha}{2}=90^\circ-1.5\alpha.

Budući da je $|AB|=|AC|$ slijedi

|\angle CBA|=|\angle ACB|=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-0.5\alpha.

Dakle, vrijedi $|\angle BSC|=|\angle SCB|$ , pa je $|BS|=|BC|$ .

Drugo rješenje.

Neka je $|\angle BAC|=\alpha$ i $|\angle CAD|=2\alpha$ . Budući da je $|AB|=|AC|=|AD|$ , točke $B$ , $C$ i $D$ pripadaju istoj kružnici sa središtem u točki $A$ .

Četverokut ABCD upisan u kružnicu sa središtem A

Kut $\angle DBC$ obodni je kut nad tetivom $\overline{DC}$ , a $\angle CAD$ je središnji kut nad istom tetivom. Stoga je $|\angle SBC|=|\angle DBC|=\frac{1}{2}\cdot|\angle CAD|=\alpha$ .

U jednakokračnom trokutu $ABC$ uočimo sukladne kutove $|\angle CBA|=|\angle ACB|=\beta$ .

Vrijedi $\alpha+\beta+\beta=180^\circ$ .

U trokutu $BCS$ vrijedi $|\angle BSC|=180^\circ-(\alpha+\beta)=\beta$ .

Dakle, vrijedi $|\angle BSC|=|\angle ACB|=|\angle SCB|$ , pa je $|BS|=|BC|$ .