6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $|\angle BAC|=\alpha$ i $|\angle CAD|=2\alpha$.

Budući da je $|AB|=|AD|$ slijedi

$$|\angle SBA|=|\angle ADS|=\frac{180^\circ-3\alpha}{2}=90^\circ-1.5\alpha.$$

Budući da je $|AB|=|AC|$ slijedi

$$|\angle CBA|=|\angle ACB|=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-0.5\alpha.$$

Zaključujemo $|\angle CBS|=|\angle CBA|-|\angle SBA|=90^\circ-0.5\alpha-(90^\circ-1.5\alpha)=\alpha$.

Mjere dvaju kutova trokuta $BCS$ su $|\angle SCB|=|\angle ACB|=90^\circ-0.5\alpha$ i $|\angle CBS|=\alpha$, pa je mjera trećeg kuta $|\angle BSC|=180^\circ-(90^\circ-0.5\alpha+\alpha)=90^\circ-0.5\alpha$.

Dakle, vrijedi $|\angle BSC|=|\angle SCB|$, pa je $|BS|=|BC|$.

Drugo rješenje.

Neka je $|\angle BAC|=\alpha$ i $|\angle CAD|=2\alpha$. Budući da je $|AB|=|AC|=|AD|$, točke $B$, $C$ i $D$ pripadaju istoj kružnici sa središtem u točki $A$.

Kut $\angle DBC$ obodni je kut nad tetivom $\overline{DC}$, a $\angle CAD$ je središnji kut nad istom tetivom. Stoga je $|\angle SBC|=|\angle DBC|=\frac{1}{2}\cdot|\angle CAD|=\alpha$.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ uočimo sukladne kutove $|\angle CBA|=|\angle ACB|=\beta$.

Vrijedi $\alpha+\beta+\beta=180^\circ$.

U trokutu $BCS$ vrijedi $|\angle BSC|=180^\circ-(\alpha+\beta)=\beta$.

Dakle, vrijedi $|\angle BSC|=|\angle ACB|=|\angle SCB|$, pa je $|BS|=|BC|$.