7. Zadatak

Neka je $x$ veći, a $y$ manji od dva tražena prirodna broja. Vrijedi:

$$xy=14(x-y).$$

Taj uvjet možemo napisati ekvivalentno

$$14x-14y-xy=0$$ $$14x-y(14+x)=0.$$

Da bismo faktorizirali lijevu stranu jednadžbe, na obje njezine strane dodajemo $14\cdot14$.

$$\begin{aligned} 14x+14\cdot14-y(x+14)&=14\cdot14\\ 14(x+14)-y(x+14)&=196\\ (x+14)(14-y)&=196. \end{aligned}$$

Odavde slijedi da je $x+14$ djelitelj broja $196$.

Budući da je $x+14>14$ i $196=2^2\cdot7^2$, imamo sljedeće mogućnosti:

$$x+14=28,\quad x+14=49,\quad x+14=98,\quad x+14=196.$$

Za $x+14=28$ je $14-y=7$, pa je $(x,y)=(14,7)$.

Za $x+14=49$ je $14-y=4$, pa je $(x,y)=(35,10)$.

Za $x+14=98$ je $14-y=2$, pa je $(x,y)=(84,12)$.

Za $x+14=196$ je $14-y=1$, pa je $(x,y)=(182,13)$.