5. Zadatak

Odredimo najmanji prirodni broj $n$ za koji tvrdnja iz zadatka vrijedi.

Za $n=3$ tvrdnja očito ne vrijedi. Na primjer, možemo promatrati brojeve $1$, $2$, $4$.

Pokažimo da tvrdnja ne vrijedi za $n=4$, tj. da postoje četiri prirodna broja tako da među njima ne postoje tri čija bi aritmetička sredina bila prirodni broj.

Promotrimo npr. brojeve $4$, $5$, $7$ i $8$.

$$\frac{4+5+7}{3}=\frac{16}{3}\notin\mathbb N,\quad \frac{4+5+8}{3}=\frac{17}{3}\notin\mathbb N,\quad \frac{4+7+8}{3}=\frac{19}{3}\notin\mathbb N,\quad \frac{5+7+8}{3}=\frac{20}{3}\notin\mathbb N.$$

U nastavku pokazujemo da tvrdnja vrijedi za $n=5$.

Uočimo da je aritmetička sredina tri prirodna broja $a$, $b$ i $c$ prirodan broj ako i samo ako je njihov zbroj djeljiv brojem $3$. Ostaci pri dijeljenju prirodnog broja brojem $3$ su $0$, $1$ i $2$, pa se svaki prirodan broj može zapisati na jedan od načina: $3k$, $3k+1$, $3k+2$, za neki $k\in\mathbb N_0$.

Za proizvoljnih pet prirodnih brojeva imamo sljedeće dvije mogućnosti:

$1)$ Među promatranih pet brojeva se nalaze tri broja koji imaju isti ostatak pri dijeljenju s $3$. Tada je njihov zbroj djeljiv s tri (jer je zbroj ostataka $0$, $3$ ili $6$).

$2)$ Među promatranih pet brojeva se ne nalaze tri broja koji imaju isti ostatak pri dijeljenju s $3$. Tada se svaki ostatak pojavljuje najviše dva puta. Budući da imamo $5$ brojeva, te vrijedi $5=2+2+1$, vidimo da se svaki ostatak mora pojavljivati barem jednom. Dakle, postoje tri broja koja daju različite ostatke, a njihov zbroj je djeljiv s $3$ jer je zbroj ostataka $3$.

Time smo pokazali da je $5$ najmanji prirodan broj za koji tvrdnja vrijedi.