2. Zadatak

Uočimo da jednadžbu $20m+24n=2024$ možemo podijeliti s $4$, te dobivamo $5m+6n=506$.

Iz ovog zapisa možemo zaključiti da $5$ dijeli $506-6n=505-5n+1-n$.

Budući da $5$ dijeli $506-6n$ i očito dijeli $505-5n$, slijedi da dijeli i

$$505-5n-(506-6n)=n-1.$$

Stoga mora postojati cijeli broj $k$ takav da je vrijedi $n=5k+1$.

Iz jednadžbe $5m+6n=506$ uvrštavanjem $n=5k+1$ i sređivanjem dobivamo $m=100-6k$.

Kako točka $T(m,n)$ mora pripadati pravokutniku $ABCD$, onda za njene koordinate vrijedi:

$$-100\le m\le100\quad\text{i}\quad-50\le n\le50.$$

Sada je:

$$-100\le100-6k\le100\quad\text{i}\quad-50\le5k+1\le50.$$

Iz prve nejednakosti dobijemo $-200\le-6k\le0$.

Tada za suprotan broj, $6k$ vrijedi $0\le6k\le200$, odnosno $0\le k\le33\frac{1}{3}$.

To znači da je $k\in\{0,1,2,3,\ldots,30,31,32,33\}$.

Iz druge nejednakosti dobijemo $-51\le5k\le49$, odnosno $-10\frac{1}{5}\le k\le9\frac{4}{5}$.

To znači da je $k\in\{-10,-9,-8,\ldots,7,8,9\}$.

Ukupno ima $10$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju oba uvjeta i to su $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ pa ima i $10$ različitih točaka koje zadovoljavaju uvjete zadatka.

Napomena: Tražene točke možemo prikazati u koordinatnom sustavu.

$$\begin{aligned} R(106,-4)&\notin ABCD\\ N(100,1)\\ M(94,6)\\ L(88,11)\\ K(82,16)\\ J(76,21)\\ I(70,26)\\ H(64,31)\\ G(58,36)\\ F(52,41)\\ E(46,46)\\ P(40,51)&\notin ABCD \end{aligned}$$