4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je to trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$ i neka je $\beta=75^\circ$ mjera kuta pri vrhu $B$, kao na slici.

Neka je točka $D$ nožište visine iz vrha $C$, a točka $E$ polovište hipotenuze. Kako je polovište hipotenuze središte pravokutnom trokutu opisane kružnice, slijedi $|AE|=|CE|=|EB|=\frac{|AB|}{2}$.

Zaključujemo da je trokut $CAE$ jednakokračan trokut s krakovima $\overline{CE}$ i $\overline{AE}$, a tada vrijedi da su kutovi $\angle ACE$ i $\angle EAC$ sukladni i veličine $\alpha$. Prema uvjetu zadatka, $\alpha=90^\circ-\beta=15^\circ$.

Kut $\angle BEC$ vanjski je kut trokuta $CAE$ i njegova je veličina jednaka $2\alpha=30^\circ$.

Trokut $EDC$ je pravokutni trokut s jednim šiljastim kutom veličine $30^\circ$, što znači da je taj trokut polovina jednakostraničnog trokuta pri čemu je dužina $\overline{DC}$ polovina osnovice: $|CE|=2|CD|$.

Kako je $|AB|=|AE|+|EB|$, vrijedi $|AB|=|CE|+|CE|=2|CE|=4|CD|$, što je i trebalo dokazati.

Drugo rješenje.

Označimo elemente trokuta kao na slici. Neka je $S$ središte opisane kružnice pravokutnog trokuta. Tada je $S$ polovište hipotenuze $\overline{AB}$.

Trokut $ASC$ je jednakokračan trokut, te vrijedi $|\angle SAC|=|\angle ACS|=\alpha$.

Budući da je $\alpha+\beta=90^\circ$, slijedi $\alpha=15^\circ$.

Budući da je vanjski kut trokuta jednak zbroju dvaju njemu nasuprotnih unutarnjih kutova tog trokuta vrijedi $|\angle BSC|=15^\circ+15^\circ=30^\circ$.

Neka je $N$ sjecište okomice iz vrha $C$ na hipotenuzu $\overline{AB}$ i neka je $C'$ točka na okomici $CN$ odabrana tako da je $|NC'|=|CN|$.

Trokuti $SNC$ i $NSC'$ su sukladni prema $SKS$ poučku. (Vrijedi $|NC'|=|CN|$, $\overline{SN}$ je zajednička stranica i $|\angle SNC|=|\angle C'NS|=90^\circ$.) Iz sukladnosti trokuta slijedi:

$$|\angle NSC|=|\angle NSC'|=30^\circ,\quad |SC'|=|SC|\quad\text{i}\quad |\angle SCN|=|\angle NC'S|=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$$

pa zaključujemo da je trokut $SC'C$ je jednakostraničan.

Dakle, $|AB|=2|SA|=2|SC|=2|CC'|=2\cdot2|CN|=4|CN|$.