4. Zadatak

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta čije su duljine stranica prirodni brojevi.

Kako je površina pravokutnog trokuta jednaka $\frac{a\cdot b}{2}$, potrebno je dokazati da je duljina jedne od kateta djeljiva s $3$ i duljina jedne od njih djeljiva s $4$.

Dokažimo najprije da je barem jedna duljina katete djeljiva s $3$.

Pretpostavimo suprotno.

Kvadrat broja koji nije djeljiv s $3$ je broj oblika $(3k\pm1)^2=9k^2\pm6k+1=3(3k^2\pm2k)+1$, $k\in\mathbb{N}$, dakle, daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$ pa zato $a^2+b^2$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$ što ne može biti kvadrat prirodnog broja (on daje ostatke $0$ ili $1$ pri dijeljenju s $3$) pa smo time došli do kontradikcije i dokazali tvrdnju.

Slično, zaključujemo da barem jedna duljina katete mora biti paran broj. Jer ako su obje duljine kateta neparne, kvadrati tih brojeva su oblika $(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1$, $k\in\mathbb{N}$, dakle, daju ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$ pa zato $a^2+b^2$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $4$ što ne može biti kvadrat prirodnog broja (on daje ostatke $0$ ili $1$ pri dijeljenju s $4$).

Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $a$ paran.

Slijedi da su $b$ i $c$ iste parnosti.

Dodatno pretpostavimo da su $b$ i $c$ neparni. Tada iz

$$a^2=c^2-b^2=(2k+1)^2-(2l+1)^2=4(k(k+1)-l(l+1)),\quad k,l\in\mathbb{N}$$

zaključujemo da je $a^2$ djeljiv s $8$, jer su $k(k+1)$ i $l(l+1)$ parni kao umnožak dva uzastopna broja pa $a$ mora biti djeljiv s $4$.

Ako su $b$ i $c$ parni, onda dijelimo $a^2+b^2=c^2$ s $4$ i time dobivamo

$$\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{c}{2}\right)^2$$

i tada, ako je jedan od prirodnih brojeva $\frac{a}{2}$ ili $\frac{b}{2}$ neparan, svodimo problem na prethodni slučaj (da oba ne mogu biti neparna već smo pokazali); ako su opet oba parni, to znači da je jedan od brojeva $a$ i $b$ djeljiv s $4$.

Time smo dokazali tvrdnju zadatka.