2. Zadatak

Istaknimo kutove kako bismo uočili slične trokute.

$\triangle ADC\sim\triangle DBC\sim\triangle ABC$ jer svi imaju jedan pravi kut i veličine šiljastih kutova su im jednake.

Označimo duljinu visine na hipotenuzu s $v$.

Budući da je $\triangle ADC\sim\triangle DBC$, vrijedi:

$$\begin{aligned} v:18&=8:v\\ v^2&=144\\ v&=12\ \mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Budući da je $E$ polovište visine, zaključujemo da je $DE=12:2=6$.

Označimo li duljinu dužine $AE$ s $x$, onda je prema Pitagorinom poučku:

$$\begin{aligned} x^2&=8^2+6^2\\ x^2&=64+36\\ x^2&=100\\ x&=10\ \mathrm{cm}. \end{aligned}$$

Označimo duljinu dužine $EF$ s $y$.

Nacrtajmo paralelu s pravcem $AF$ kroz točku $D$. Neka je točka $G$ presjek te paralele i stranice $BC$.

Trokuti $\triangle CEF$ i $\triangle CDG$ su slični po K-K teoremu (jer imaju zajednički kut pri vrhu $C$, a $|\angle CFE|=|\angle CGD|$ jer su to šiljasti kutovi uz presječnicu).

Budući da je $|DC|=2|EC|$ (jer je $E$ polovište dužine $\overline{CD}$), zaključujemo da je koeficijent sličnosti jednak $2$, pa je duljina dužine $\overline{DG}$ jednaka $2y$.

Uočavamo da zbog paralelnosti dužina $\overline{AF}$ i $\overline{DG}$ imamo još jedan par sličnih trokuta, $\triangle ABF\sim\triangle DBG$, pa vrijedi:

$$\begin{aligned} (x+y):2y&=(8+18):18\\ (10+y):2y&=26:18\\ 180+18y&=52y\\ 180&=52y-18y\\ 180&=34y\\ y&=\frac{180}{34}=\frac{90}{17}\ \mathrm{cm}. \end{aligned}$$