1. Zadatak

Prvo rješenje.

Imamo

$$\begin{aligned} xy+xz&=10\\ yz+xy&=11\\ xz+yz&=17. \end{aligned}$$

Zbrajanjem ove tri jednadžbe dobivamo

$$2(xy+yz+zx)=38,$$

odnosno

$$xy+yz+zx=19.$$

Sada imamo

$$\begin{aligned} xy&=xy+yz+zx-(xz+yz)=19-17=2,\\ yz&=xy+yz+zx-(xy+xz)=19-10=9 \end{aligned}$$

i

$$xz=xy+yz+zx-(xy+yz)=19-11=8.$$

Iz toga slijedi $(xyz)^2=2\cdot9\cdot8=144$, pa je $xyz=12$ ili $xyz=-12$. Konačno imamo

$$\begin{aligned} x&=\frac{xyz}{yz}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ y&=\frac{xyz}{xz}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\\ z&=\frac{xyz}{xy}=\frac{12}{2}=6, \end{aligned}$$

odnosno

$$\begin{aligned} x&=\frac{xyz}{yz}=\frac{-12}{9}=-\frac{4}{3}\\ y&=\frac{xyz}{xz}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}\\ z&=\frac{xyz}{xy}=\frac{-12}{2}=-6. \end{aligned}$$

Rješenja su uređene trojke:

$$\left(\frac{4}{3},\frac{3}{2},6\right),\qquad\left(-\frac{4}{3},-\frac{3}{2},-6\right).$$

Drugo rješenje.

Iz

$$\begin{aligned} x(y+z)&=10\\ y(z+x)&=11\\ z(x+y)&=17 \end{aligned}$$

slijedi:

$$\begin{aligned} xy+xz&=10\\ yz+yx&=11\\ zx+zy&=17. \end{aligned}$$

Supstituiramo:

$$xy=a,\qquad xz=b,\qquad yz=c.$$

Tada je:

$$\begin{aligned} a+b&=10\\ c+a&=11\\ b+c&=17. \end{aligned}$$

Od treće jednadžbe oduzmemo drugu:

$$b-a=6.$$

Zbrojimo dobivenu jednadžbu s prvom:

$$\begin{aligned} a+b&=10\\ b-a&=6\\ 2b&=16\\ b&=8. \end{aligned}$$

Dalje je $a=2$ i $c=9$.

Vrijedi:

$$xy=2,\qquad xz=8,\qquad yz=9.$$

Drugu jednadžbu podijelimo s prvom:

$$\frac{z}{y}=4,$$

odnosno

$$z=4y.$$

Uvrstimo u treću:

$$\begin{aligned} y\cdot4y&=9\\ y^2&=\frac{9}{4}\\ y_{1,2}&=\pm\frac{3}{2}. \end{aligned}$$

Iz prve jednadžbe slijedi

$$x=\frac{2}{y},$$

odnosno

$$x_{1,2}=\pm\frac{4}{3}.$$

Iz $z=4y$ slijedi

$$z_{1,2}=4\cdot\left(\pm\frac{3}{2}\right)=\pm6.$$

Rješenja su uređene trojke:

$$\left(\frac{4}{3},\frac{3}{2},6\right),\qquad\left(-\frac{4}{3},-\frac{3}{2},-6\right).$$