3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $S$ središte trokutu upisane kružnice, s $P$ polovište osnovice $\overline{AB}$ i s $D$ diralište kružnice s krakom $\overline{AC}$. Označimo s $r$ polumjer trokutu upisane kružnice. Tada je prema uvjetu zadatka $|AP|=2r$.

Kako su trokuti $\triangle APS$ i $\triangle ASD$ sukladni (po S-S-K poučku), onda je i $|AD|=2r$.

Označimo i duljinu kraka s $b$.

Trokuti $\triangle APC$ i $\triangle SDC$ su slični (po K-K poučku) i zato imamo

$$2=\frac{2r}{r}=\frac{v}{b-2r}=\frac{b}{v-r}.$$

Odatle slijedi $v=2(b-2r)$ i $b=2(v-r)$.

Uvrštavanjem $b$ u prvu jednadžbu dobivamo $v=2(2v-2r-2r)=4v-8r$ odakle slijedi

$$v=\frac{8r}{3}.$$

Površina trokuta $\triangle ABC$ je

$$P_1=\frac{4r\cdot\frac{8}{3}r}{2}=\frac{16}{3}r^2.$$

Površina upisanog kruga je $P_2=r^2\pi$.

Traženi omjer je

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{16}{3\pi}.$$

Drugo rješenje.

Duljinu osnovice $AB$ označimo $a$, polumjer upisane kružnice s $r$ te dirališta s $D$, $E$ i $P$.

Budući da je $a:r=4:1$, postoji broj $k$ takav da je $a=4k$ i $r=k$.

Visina $CP$ na osnovicu siječe upisanu kružnicu u točki $G$ i ima nožište u točki $P$, polovištu osnovice, pa zaključujemo da je $|AP|=2k$.

Kako se središte upisane kružnice nalazi na simetrali kuta $\angle BAC$, prema svojstvu simetrale je $|AP|=|AD|=2k$.

Označimo duljinu dužine $CG$ s $x$ i duljinu dužine $CD$ s $y$.

$\triangle APC\sim\triangle CDS$ po poučku K-K (jedan kut im je zajednički i jedan kut im je pravi), pa prema tome vrijedi:

$$\begin{aligned} y:(x+2k)&=k:2k\\ 2ky&=k(x+2k)\\ 2y&=x+2k\\ x&=2y-2k \end{aligned}$$

$\triangle CDS$ je pravokutan pa vrijedi Pitagorin poučak:

$$(x+k)^2=y^2+k^2.$$

Slijedi supstitucija $x=2y-2k$.

$$\begin{aligned} (2y-2k+k)^2&=y^2+k^2\\ (2y-k)^2&=y^2+k^2\\ 4y^2-4ky+k^2&=y^2+k^2\\ 3y^2-4ky&=0\\ y(3y-4k)&=0\\ 3y&=4k\\ y&=\frac{4}{3}k, \end{aligned}$$

pa je $x=2\cdot\frac{4}{3}k-2k=\frac{8}{3}k-2k=\frac{2}{3}k$.

Visina na osnovicu $\triangle ABC$ je $v=2r+x=2k+\frac{2}{3}k=\frac{8}{3}k$, pa je površina trokuta

$$P=\frac{a\cdot v}{2}=\frac{4k\cdot\frac{8}{3}k}{2}=\frac{16}{3}k^2.$$

Površina kruga je $P=r^2\pi=k^2\pi$.

Omjer površina je

$$\frac{\frac{16}{3}k^2}{k^2\pi}=\frac{16}{3\pi}.$$