1. Zadatak

Neka su duljine stranica trokuta $a,b$ i $c$, te duljine odgovarajućih visina $v_a,v_b$ i $v_c$.

Kako je $v_a:v_b:v_c=3:4:5$, slijedi da je $v_a=3k$, $v_b=4k$, $v_c=5k$, $k\in\mathbb Q$.

Kako je površina trokuta jednaka polovini umnoška duljine stranice i duljine odgovarajuće visine, imamo da je

$$a=\frac{2P}{3k},\qquad b=\frac{2P}{4k},\qquad c=\frac{2P}{5k},$$

pri čemu $P$ označava površinu trokuta. Zbog toga vrijedi razmjer $a:b:c=\frac13:\frac14:\frac15$.

Svođenjem na zajednički nazivnik imamo da je $a:b:c=\frac{20}{60}:\frac{15}{60}:\frac{12}{60}$, odnosno $a:b:c=20:15:12$.

Stoga je $a=20l$, $b=15l$, $c=12l$, $l\in\mathbb Q$. Očito je $a$ najdulja stranica, pa je $20l=12$, odakle je $l=\frac{12}{20}=\frac35$.

Konačno, opseg trokuta je $o=a+b+c=20l+15l+12l=47l=47\cdot\frac35=\frac{141}{5}=28.2$ cm.