3. Zadatak

Neka je $\overline{abc}$ troznamenkasti broj koji zadovoljava uvjete zadatka.

Tada je $a\ne b\ne c$ i razlomci $\frac{\overline{abc}}{\overline{ab}}$, $\frac{\overline{abc}}{\overline{bc}}$, $\frac{\overline{abc}}{\overline{ac}}$ su cijeli brojevi.

1° Kako je $\frac{\overline{abc}}{\overline{ab}}=\frac{\overline{ab0}+c}{\overline{ab}}=10+\frac c{\overline{ab}}$, slijedi da je $\frac c{\overline{ab}}$ cijeli broj, a to je moguće samo ako je $c=0$.

2° Sada imamo da je $\frac{\overline{ab0}}{\overline{a0}}=\frac{\overline{ab}}a=\frac{10a+b}{a}=10+\frac ba$, pa $b$ mora biti višekratnik od $a$.

Kako je $a\ne b$, slijedi da znamenka $a$ može poprimiti vrijednosti iz skupa $\{1,2,3,4\}$.

3° Nadalje, $\frac{\overline{ab0}}{\overline{b0}}=\frac{\overline{ab}}b=\frac{10a+b}{b}=1+\frac{10a}{b}$, pa $b$ mora biti djelitelj od $10a$.

Konačno, kombiniranjem uvjeta 2° i 3° dobivamo pet rješenja: 120, 150, 240, 360, 480.