5. Zadatak

Neka je $D$ polovište hipotenuze $\overline{AB}$, neka je $P$ nožište visine iz vrha $C$ te neka je $E$ sjecište simetrale hipotenuze sa stranicom $\overline{BC}$.

Kako je površina trokuta $DBE$ tri puta manja od površine trokuta $ABC$ i budući je $|DB|=\frac{|AB|}{2}$, slijedi jednakost

$$\frac12\cdot\frac{|AB|}{2}\cdot|ED|=\frac13\cdot\frac12|AB|\cdot|CP|,$$

odakle dobivamo razmjer

$$\frac{|CP|}{|ED|}=\frac32.$$

Nadalje, iz sličnosti trokuta $DBE$ i $PBC$ dobivamo da je

$$\frac{|BP|}{|BD|}=\frac{|CP|}{|ED|}=\frac32.$$

Zbog toga je $|BP|=\frac32|BD|=\frac32\cdot\frac{|AB|}{2}=\frac34|AB|$, pa je $|AP|=|AB|-|BP|=\frac14|AB|$. Stoga je i $|PD|=\frac14|AB|$.

Prema tome, točka $P$ je polovište dužine $\overline{AD}$, pa je trokut $ADC$ jednakokračan, tj. $|AC|=|DC|$.

No, točka $D$ je središte opisane kružnice pravokutnog trokuta $ABC$, pa je $|AD|=|DC|$.

Dakle, trokut $ADC$ je jednakostraničan, pa je $\angle CAB=60°$.

Konačno, kako je zbroj kutova u trokutu jednak 180°, lagano dobivamo da je $\angle ABC=30°$.