4. Zadatak

Prvo rješenje.

Marko je u zadanom vremenu, vozeći bicikl stalnom brzinom, prešao put od $9\ \text{km}=9000\ \text{m}$ što znači da je prešao $9000:1800=5$ duljina staze.

Luka je u zadanom vremenu, trčeći stalnom brzinom, prešao put od $4.5\ \text{km}=4500\ \text{m}$ što znači da je prešao $4500:1800=2.5$ duljine staze.

Nakon 30 minuta od početka treninga Marko je na kraju staze, a Luka je na polovini staze što znači da su međusobno udaljeni 900 m.

Za 30 minuta Marko je prešao dvostruko više od Luke i obojica se kreću stalnim brzinama. Prvi su se puta susreli kad je Luka išao prema kraju staze, a Marko se vraćao prema njenom početku.

Neka je A - početak staze, B - kraj staze i S - mjesto prvog susreta.

Prikažimo crtežom put koji je prešao svaki od njih.

Luka je prešao put od A do S.

Marko je prešao put od A do B te natrag od B do S, što se može prikazati i na ovaj način:

No put koji je prešao Marko je dvostruko veći, pa je put od S do B te natrag od B do S jednak putu od A do S.

To znači da je put od S do B jednak polovini puta od A do S, što znači da je mjesto njihovog susreta na $\frac23$ staze.

Po prvi put su se susreli na $\frac23$ od 1800 m, što je 1200 m od početka staze.

Drugo rješenje.

Marko je u zadanom vremenu, vozeći bicikl stalnom brzinom, prešao put od $9\ \text{km}=9000\ \text{m}$ što znači da je prešao $9000:1800=5$ duljina staze.

Luka je u zadanom vremenu, trčeći stalnom brzinom, prešao put od $4.5\ \text{km}=4500\ \text{m}$ što znači da je prešao $4500:1800=2.5$ duljine staze.

Nakon 30 minuta od početka treninga Marko je na kraju staze, a Luka je na polovini staze što znači da su međusobno udaljeni 900 m.

Marko prijeđe stazu za $30:5=6$ minuta, a Luka za $30:2.5=12$ minuta.

Ako Marku treba 6 minuta za cijelu stazu od 1800 metara, onda vozi stalnom brzinom od $1800:6=300$ metara u minuti. Ako Luki treba 12 minuta za tu stazu, onda trči stalnom brzinom od $1800:12=150$ metara u minuti.

Dalje zaključujemo da je u trenutku susreta Marko na povratku prema početku staze, a Luka još trči prema kraju staze. Znači da će do točke susreta zajedno prijeći dvije duljine staze tj. 3600 m.

Neka je do prvog susreta prošlo $t$ minuta.

Do tog trenutka Marko će prijeći put od $300t$ metara, a Luka $150t$ metara.

$$\begin{aligned} 300t+150t&=3600\\ 450t&=3600\\ t&=\frac{3600}{450}=8 \end{aligned}$$

Po prvi put su se susreli 8 minuta nakon početka treninga i to na udaljenosti od $150\cdot8=1200$ metara od početka staze.

Treće rješenje.

Marko je u zadanom vremenu, vozeći bicikl stalnom brzinom, prešao put od $9\ \text{km}=9000\ \text{m}$ što znači da je prešao $9000:1800=5$ duljina staze.

Luka je u zadanom vremenu, trčeći stalnom brzinom, prešao put od $4.5\ \text{km}=4500\ \text{m}$ što znači da je prešao $4500:1800=2.5$ duljine staze.

Nakon 30 minuta od početka treninga Marko je na kraju staze, a Luka je na polovini staze što znači da su međusobno udaljeni 900 m.

Za 30 minuta Marko je prešao dvostruko više od Luke.

To znači, ako je Luka do prvog susreta prešao $x$ dijelova staze, onda je Marko prešao $2x$ dijelova staze.

No Marko je do prvog susreta prešao cijelu stazu i još $(1-x)$ dijelova, tj. $1+1-x=(2-x)$ dijelova staze.

$$\begin{aligned} 2x&=2-x\\ 3x&=2\\ x&=\frac23 \end{aligned}$$

Luka je prešao $\frac23$ staze što znači da su se po prvi put susreli na $\frac23$ od 1800 m što je 1200 m od početka staze.