3. Zadatak

Neka je $ABCD$ pravokutnik čije su duljine stranica, izražene u centimetrima, prirodni brojevi. Točka $P$ je polovište stranice $\overline{BC}$ , a točka $B'$ je osnosimetrična slika točke $B$ s obzirom na pravac $AP$ . Ako opseg četverokuta $ABPB'$ iznosi 15 cm, koliko najmanje, a koliko najviše može iznositi površina pravokutnika $ABCD$ ?

Rješenje

Pravokutnik ABCD, pravac AP i osnosimetrična slika B' točke B

Označimo $|AB|=a$ i $|AD|=b$ pa vrijedi:

zadanom osnom simetrijom dužina $\overline{AB}$ preslika se u $\overline{AB'}$ , a dužina $\overline{BP}$ preslika se u $\overline{PB'}$ .

Stoga za duljine stranica četverokuta $ABPB'$ vrijedi $|AB|=|AB'|=a$ i $|BP|=|PB'|=\frac b2$ .

Sada je:

\begin{aligned} o_{ABPB'}&=2\cdot a+2\cdot\frac b2\\ o_{ABPB'}&=2a+b\\ 2a+b&=15 \end{aligned}

Kako je $b=15-2a$ , a $a,b\in\mathbb N$ onda imamo sljedeće mogućnosti:

$a$	$b$	$P_{ABCD}$
1	13	$13\ \text{cm}^2$
2	11	$22\ \text{cm}^2$
3	9	$27\ \text{cm}^2$
4	7	$28\ \text{cm}^2$ najveća moguća površina
5	5	$25\ \text{cm}^2$
6	3	$18\ \text{cm}^2$
7	1	$7\ \text{cm}^2$ najmanja moguća površina