2. Zadatak

$$\overline{abcd}+\overline{abc}+\overline{ab}+a=2023$$

Lijevu stranu jednakosti raspišimo u dekadskom rastavu.

$$(1000a+100b+10c+d)+(100a+10b+c)+(10a+b)+a=2023$$

Imamo:

$$1111a+111b+11c+d=2023,$$

pri čemu su $a,b,d,c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, $a\ne0$.

Znamenka $a$ ne može biti veća od 1 jer bi u protivnom broj na lijevoj strani bio veći od 2023. Stoga je $a=1$.

Tada je:

$$\begin{aligned} 1111+111b+11c+d&=2023\\ 111b+11c+d&=912 \end{aligned}$$

Zaključujemo da je $b<9$ jer bi u protivnom broj na lijevoj strani bio veći od 999.

Ako je $b=8$, slijedi:

$$\begin{aligned} 888+11c+d&=912\\ 11c+d&=24 \end{aligned}$$

Ako je $b=7$, slijedi:

$$\begin{aligned} 777+11c+d&=912\\ 11c+d&=135 \end{aligned}$$

Nemoguće, najveća je znamenka 9 pa je $11c+d$ najviše 108. Dakle, $b$ ne može biti 7 niti manje od 7.

To znači da je $b=8$.

Tada je $11c+d=24$, pa je $c\le2$.

Ako je $c=2$, onda je:

$$\begin{aligned} 22+d&=24\\ d&=24-22\\ d&=2 \end{aligned}$$

Ako je $c=1$, onda je:

$$\begin{aligned} 11+d&=24\\ d&=24-11\\ d&=13 \end{aligned}$$

Nemoguće, najveća je znamenka 9 pa je $11+d$ najviše 20. Dakle, $d$ ne može biti 1 niti manje od 1.

Konačno, $a=1$, $b=8$, $c=2$ i $d=2$ pa je traženi broj 1822.