4. Zadatak

Prvo rješenje. Neka je $S$ središte opisane kružnice pravilnom osmerokutu $ABCDEFGH$.

Trokut $\triangle CSD$ je jednakokračan i

$$|\angle CSD|=\frac18\cdot360^\circ=45^\circ.$$

Stoga je

$$|\angle SCD|=|\angle SDC|=67.5^\circ.$$

Trokut $\triangle ASD$ je jednakokračan i

$$|\angle ASD|=\frac38\cdot360^\circ=135^\circ.$$

Stoga je

$$|\angle SAD|=|\angle SDA|=22.5^\circ.$$

Vrijedi

$$|\angle ADC|=|\angle SDC|-|\angle SDA|=67.5^\circ-22.5^\circ=45^\circ.$$

Konačno, koristeći činjenicu da je zbroj mjera kutova u trokutu jednak $180^\circ$, računamo mjeru traženog kuta kao

$$180^\circ-|\angle ADC|-|\angle SCD| =180^\circ-45^\circ-67.5^\circ =67.5^\circ.$$

Drugo rješenje.

Zbroj mjera unutarnjih kutova osmerokuta je:

$$(8-2)\cdot180^\circ=1080^\circ.$$

Mjera unutarnjeg kuta pravilnog osmerokuta je:

$$\frac{1080^\circ}{8}=135^\circ.$$

Stoga je $|\angle CBA|=|\angle DCB|=135^\circ$.

Sve stranice pravilnog mnogokuta su jednake duljine. Slijedi da su trokuti $\triangle ABC$ i $\triangle BCD$ sukladni (poučak S-K-S). Tada je $|AC|=|BD|$. Također, i trokuti $\triangle ABD$ i $\triangle ACD$ su sukladni (poučak S-S-S), pa je $|\angle BAD|=|\angle ADC|$.

Promotrimo četverokut $ABCD$. Zbroj mjera unutarnjih kutova četverokuta je $360^\circ$:

$$|\angle BAD|+|\angle ADC|+|\angle CBA|+|\angle DCB|=360^\circ.$$

Kako je $|\angle BAD|=|\angle ADC|$, onda je

$$|\angle ADC|=\frac{360^\circ-(135^\circ+135^\circ)}{2}=45^\circ.$$

Kako je $\overline{CG}$ promjer pravilnom osmerokutu opisane kružnice, on raspolavlja kut $\angle DCB$.

Zato je

$$|\angle DCG|=\frac{135^\circ}{2}=67.5^\circ=67^\circ30'.$$

Računamo traženi kut $\varphi$ između dijagonala $\overline{AD}$ i $\overline{CG}$ koristeći činjenicu da je zbroj mjera kutova u trokutu jednak $180^\circ$:

$$\varphi=180^\circ-45^\circ-67^\circ30'=67^\circ30'.$$