6. Zadatak

Označimo s $x$ duljinu stranice kvadrata, a produljenje stranice označimo s $y$.

Površina mnogokuta $A_1A_2C_2B_2B_1C_1$ je:

$$\begin{aligned} (x+y)^2-x^2&=80\\ x^2+2xy+y^2-x^2&=80\\ 2xy+y^2&=80. \tag{1} \end{aligned}$$

Površina mnogokuta $A_4A_5C_5B_5B_4C_4$ je:

$$\begin{aligned} (x+4y)^2-(x+3y)^2&=104\\ x^2+8xy+16y^2-x^2-6xy-9y^2&=104\\ 2xy+7y^2&=104. \tag{2} \end{aligned}$$

Iz (1) i (2) slijedi:

$$\begin{aligned} 2xy&=80-y^2,\\ 80-y^2+7y^2&=104,\\ 6y^2&=104-80,\\ 6y^2&=24,\\ y^2&=4 \qquad (y>0),\\ y&=2. \end{aligned}$$

Zatim je

$$\begin{aligned} 2x\cdot2&=80-2^2,\\ 4x&=80-4,\\ 4x&=76,\\ x&=19. \end{aligned}$$

Površina kvadrata $AA_1C_1B_1$ je

$$19^2=361\ \mathrm{m}^2.$$

Drugi postupak.

Površine mnogokuta $A_1A_2C_2B_2B_1C_1$ i $A_4A_5C_5B_5B_4C_4$ možemo raspisati pomoću rastava razlike kvadrata.

Površina mnogokuta $A_1A_2C_2B_2B_1C_1$ je:

$$\begin{aligned} (x+y)^2-x^2&=80,\\ (x+y-x)\cdot(x+y+x)&=80,\\ y\cdot(2x+y)&=80,\\ 2xy+y^2&=80. \tag{1} \end{aligned}$$

Površina mnogokuta $A_4A_5C_5B_5B_4C_4$ je:

$$\begin{aligned} (x+4y)^2-(x+3y)^2&=104,\\ (x+4y-x-3y)(x+4y+x+3y)&=104,\\ y(2x+7y)&=104,\\ 2xy+7y^2&=104. \tag{2} \end{aligned}$$

Dalje nastavljamo na isti način kao u prethodno opisanom rješenju.

Treći postupak.

Zadatak možemo riješiti i tako da kvadrat $AA_5C_5B_5$ podijelimo na kvadrate kojima je stranica duljine $y$ i pravokutnike kojima su stranice duljine $x$ i $y$, kao na slici ispod.

Površina mnogokuta $A_1A_2C_2B_2B_1C_1A_1$ je

$$xy+y^2+yx=80,$$

odnosno

$$2xy+y^2=80.$$

Površina mnogokuta $A_4A_5C_5B_5B_4C_4$ je

$$xy+y^2+y^2+y^2+y^2+y^2+y^2+y^2+yx=104,$$

odnosno

$$2xy+7y^2=104.$$

Dalje rješavanje nastavljamo na isti način kao u prethodno opisanom rješenju.