7. Zadatak

Prvo rješenje.

Na slici ispod žutom bojom su obojana sva polja šahovske ploče kroz koja žeton može proći na putu od polja B1 do polja C8.

Broj upisan u žuto obojano polje kazuje na koliko načina se, krenuvši iz polja B1, žeton može pomaknuti do tog polja. Brojeve upisujemo na sljedeći način:

U polje B1 upisujemo broj $1$. Dalje tablicu popunjavamo odozdo prema gore. Žeton se u neko polje šahovske ploče može pomaknuti samo iz polja koje se nalazi neposredno dolje lijevo ili dolje desno. Stoga se broj u svakom žuto obojanom polju dobije tako da se zbroje brojevi u žutim poljima koja se nalaze dijagonalno u retku ispod tog polja.

Žeton možemo pomaknuti od polja B1 do polja C8 na $28$ načina.

Slično razmatranje može se provesti i unatrag, kao da promatramo žeton koji se vraća s polja C8 na B1 potezima dijagonalno prema dolje. Slika tada izgleda ovako:

Drugo rješenje. Sve moguće načine pomicanja žetona ispisujemo redom tako da pri svakom mogućem grananju prvo ispisujemo putove u kojima smo krenuli lijevo, a nakon toga putove u kojima smo krenuli desno.

B1-A2-B3-A4-B5-A6-B7-C8	B1-C2-B3-C4-B5-C6-D7-C8
B1-A2-B3-A4-B5-C6-B7-C8	B1-C2-B3-C4-D5-C6-B7-C8
B1-A2-B3-A4-B5-C6-D7-C8	B1-C2-B3-C4-D5-C6-D7-C8
B1-A2-B3-C4-B5-A6-B7-C8	B1-C2-B3-C4-D5-E6-D7-C8
B1-A2-B3-C4-B5-C6-B7-C8	B1-C2-D3-C4-B5-A6-B7-C8
B1-A2-B3-C4-B5-C6-D7-C8	B1-C2-D3-C4-B5-C6-B7-C8
B1-A2-B3-C4-D5-C6-B7-C8	B1-C2-D3-C4-B5-C6-D7-C8
B1-A2-B3-C4-D5-C6-D7-C8	B1-C2-D3-C4-D5-C6-B7-C8
B1-A2-B3-C4-D5-E6-D7-C8	B1-C2-D3-C4-D5-C6-D7-C8
B1-C2-B3-A4-B5-A6-B7-C8	B1-C2-D3-C4-D5-E6-D7-C8
B1-C2-B3-A4-B5-C6-B7-C8	B1-C2-D3-E4-D5-C6-B7-C8
B1-C2-B3-A4-B5-C6-D7-C8	B1-C2-D3-E4-D5-C6-D7-C8
B1-C2-B3-C4-B5-A6-B7-C8	B1-C2-D3-E4-D5-E6-D7-C8
B1-C2-B3-C4-B5-C6-B7-C8	B1-C2-D3-E4-F5-E6-D7-C8

Ukupno imamo $28$ načina.

Treće rješenje.

Žeton se mora pomaknuti $7$ puta da bi s polja B1 došao na polje C8. Pri tom se mora $3$ puta pomaknuti gore lijevo i $4$ puta gore desno.

Zbog simetrije proširimo šahovsku ploču s lijeve strane kao na slici ispod.

Na slici su križićem označena sva polja kroz koja žeton može proći, uzimajući u obzir i ona polja koja se nalaze na proširenju ploče.

Od ukupnog broja svih takvih riječi oduzet ćemo broj onih riječi koje predstavljaju putove koji izlaze van šahovske ploče.

Putove ćemo opisivati riječima koje se sastoje od tri slova L i četiri slova D (L znači da žeton ide gore lijevo, a D da ide gore desno), npr. LLLDDDD, LLDLDDD itd. Ukupan broj riječi dobivamo tako da odredimo broj načina na koje možemo postaviti slova L: prvo slovo možemo na $7$ načina, drugo na $6$ načina i treće na $5$ načina. Pritom ćemo svaku riječ dobiti na $3\cdot2\cdot1=6$ načina različitim poretkom stavljanja slova L na ista tri mjesta, pa je broj riječi

$$\frac{7\cdot6\cdot5}{6}=35.$$

Riječi koje predstavljaju putove koji izlaze van ploče su one koje počinju s LL ili završavaju s DDD. To su: LLLDDDD, LLDLDDD, LLDDLDD, LLDDDLD, LLDDDDL, LDLLDDD, DLLLDDD.

Ima ih ukupno $7$.

Dakle, traženo rješenje je

$$35-7=28.$$