3. Zadatak

Točka $H$ je presjek dužina $\overline{DC}$ i $\overline{FG}$.

Površina kvadrata je $36\ \text{cm}^2$, pa je duljina stranice kvadrata 6 cm.

$|\angle BEF|=30^\circ$ i $|\angle FED|=90^\circ$, pa je $|\angle DEA|=60^\circ$.

$|\angle BEF|=30^\circ$ i $|\angle FBE|=90^\circ$, pa je $|\angle EFB|=60^\circ$.

$|\angle DEA|=60^\circ$ i $|\angle EAD|=90^\circ$, pa je $|\angle ADE|=30^\circ$.

Trokuti $\triangle AED$ i $\triangle EBF$ su polovine jednakostraničnog trokuta u kojem vrijedi da je duljina hipotenuze dvostruko dulja od kraće katete.

Kako je $|DE|=|EF|=6$, slijedi da je $|AE|=|BF|=3$.

Neka je $|AD|=|EB|=x$.

Primjenom Pitagorina poučka slijedi:

$$\begin{aligned} x^2+3^2&=6^2\\ x&=3\sqrt3 \end{aligned}$$

Znači, $|AD|=|EB|=3\sqrt3$.

$|\angle EFB|=60^\circ$ i $|\angle GFE|=90^\circ$, pa je $|\angle CFH|=30^\circ$.

$|\angle CFH|=30^\circ$ i $|\angle HCF|=90^\circ$, pa je $|\angle FHC|=60^\circ$.

Trokut $\triangle HFC$ je također polovina jednakokračnog trokuta.

$|FC|=|BC|-|BF|=3\sqrt3-3$.

Neka je $|HF|=2|CH|=2y$.

Iz Pitagorinog poučka slijedi $y^2+(3\sqrt3-3)^2=4y^2$, odnosno $(3\sqrt3-3)^2=3y^2$, pa je

$$y^2=\frac{(3\sqrt3-3)^2}{3}$$

i nadalje

$$y=\frac{3\sqrt3-3}{\sqrt3}=3-\sqrt3.$$

Stoga je

$$|HF|=2y=6-2\sqrt3$$

i

$$|DH|=|DC|-|HC|=3+3\sqrt3-(3-\sqrt3)=4\sqrt3.$$

Presjek pravokutnika i kvadrata je trapez $DEFH$.

Opseg iznosi:

$$o=|DE|+|EF|+|HF|+|DH|=6+6+6-2\sqrt3+4\sqrt3=(18+2\sqrt3)\ \text{cm}.$$

Površina možemo izračunati tako da od površine pravokutnika $ABCD$ oduzmemo površine dvaju sukladnih pravokutnih trokuta $\triangle AED$ i $\triangle EBF$ i površinu pravokutnog trokuta $\triangle FCH$:

$$\begin{aligned} P&=(3+3\sqrt3)\cdot3\sqrt3-2\cdot\frac{3\cdot3\sqrt3}{2}-\frac{(3-\sqrt3)(3\sqrt3-3)}{2}\\ &=9\sqrt3+27-9\sqrt3-\frac{9\sqrt3-9-9+3\sqrt3}{2}\\ &=27-\frac{12\sqrt3-18}{2}\\ &=27-6\sqrt3+9\\ &=(36-6\sqrt3)\ \text{cm}^2. \end{aligned}$$

(Alternativno, površinu možemo računati koristeći formulu za površinu trapeza:

$$P=\frac{|DE|+|HF|}{2}\cdot|EF|=\frac{6+6-2\sqrt3}{2}\cdot6=(36-6\sqrt3)\ \text{cm}^2.$$

)