5. Zadatak

Prvo rješenje.

Pravac dijeli trokut na trapez i jednakokračan trokut.

Trokuti $\triangle ABC$ i $\triangle DBE$ su slični prema poučku KK s koeficijentom sličnosti $k$, a omjer površina je $k^2$.

Površina trokuta $\triangle ABC$ dva je puta veća od površine trokuta $\triangle DBE$ pa je $k^2=2$, a $k=\sqrt2$.

Iz $|AB|=4$ i $k=\sqrt2$ slijedi

$$\frac{|AB|}{|DB|}=\sqrt2\quad\text{pa je}\quad |DB|=\frac{|AB|}{\sqrt2}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2.$$

Znači, koordinate točke $D$ su $D(6-2\sqrt2,1)$.

Jednadžbu pravca $AC$ dobijemo rješavanjem sustava:

$$A(2,1),\ C(4,5);\qquad y=ax+b$$ $$\begin{aligned} 1&=2a+b\\ 5&=4a+b \end{aligned}$$ $$y=2x-3$$

Traženi pravac paralelan je s pravcem $AC$ pa ima isti nagib i prolazi točkom $D$.

$$D(6-2\sqrt2,1),\ a=2;\qquad y=ax+b$$ $$\begin{aligned} 1&=2(6-2\sqrt2)+b\\ b&=-11+4\sqrt2\\ y&=2x-11+4\sqrt2 \end{aligned}$$

Analogno se dobije pravac paralelan s krakom $BC$ koji prolazi točkom $(2+2\sqrt2,1)$.

Jednadžbu pravca $BC$ dobijemo rješavanjem sustava:

$$B(6,1),\ C(4,5);\qquad y=ax+b$$ $$\begin{aligned} 1&=6a+b\\ 5&=4a+b \end{aligned}$$ $$y=-2x+13$$

Traženi pravac paralelan je s pravcem $BC$ pa ima isti nagib i prolazi točkom $(2+2\sqrt2,1)$.

$$(2+2\sqrt2,1),\ a=-2;\qquad y=ax+b$$ $$\begin{aligned} 1&=-2(2+2\sqrt2)+b\\ b&=5+4\sqrt2\\ y&=-2x+5+4\sqrt2 \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Prvi slučaj:

Pravac dijeli trokut na trapez i jednakokračan trokut.

U trokutu $\triangle ABC$ je $|AB|=4$.

Duljina visine iz vrha $C$ na osnovicu $\overline{AB}$ je $v_1=4$.

Trokuti $\triangle ABC$ i $\triangle DBE$ su slični prema poučku KK s koeficijentom sličnosti $k$, a omjer površina je $k^2$.

Površina trokuta $\triangle ABC$ dva je puta veća od površine trokuta $\triangle DBE$ pa je $k^2=2$, a $k=\sqrt2$.

Iz $|AB|=4$ i $k=\sqrt2$ slijedi

$$\frac{|AB|}{|DB|}=\sqrt2\quad\text{pa je}\quad |DB|=\frac{|AB|}{\sqrt2}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2.$$

Znači, koordinate točke $D$ su $D(6-2\sqrt2,1)$.

Duljina visine trokuta $\triangle DBE$ iz vrha $E$ na osnovicu $\overline{DB}$ je

$$v_2=\frac{v_1}{k}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2.$$

Apscisa točke $E$ je aritmetička sredina apscisa točaka $D$ i $B$, a ordinata je $v_2+1=2\sqrt2+1$, dakle $E(6-\sqrt2,2\sqrt2+1)$.

Pravac kroz točke $D$ i $E$:

$$D(6-2\sqrt2,1),\ E(6-\sqrt2,2\sqrt2+1);\qquad y=ax+b$$ $$\begin{aligned} 1&=(6-2\sqrt2)a+b\\ 2\sqrt2+1&=(6-\sqrt2)a+b \end{aligned}$$

Oduzmemo jednadžbe:

$$\begin{aligned} \sqrt2a&=2\sqrt2\\ a&=2\\ b&=1-12+4\sqrt2=-11+4\sqrt2 \end{aligned}$$

Jednadžba pravca je $y=2x-11+4\sqrt2$.

Drugi slučaj:

Analogno se odrede točke $D(2+2\sqrt2,1)$ i $E(2+\sqrt2,2\sqrt2+1)$ po simetriji te jednadžba drugog pravca $y=-2x+5+4\sqrt2$.