2. Zadatak

Iz

$$(x+y)^2-z^2=1,\qquad (y+z)^2-x^2=5,\qquad (z+x)^2-y^2=10$$

rastavljanjem na faktore slijedi da je

$$(x+y+z)(x+y-z)=1,$$ $$(x+y+z)(y+z-x)=5,$$ $$(x+y+z)(z+x-y)=10.$$

Zbrojimo li sve tri jednadžbe vrijedi da je

$$(x+y+z)\left[(x+y-z)+(y+z-x)+(z+x-y)\right]=16,$$

odnosno

$$(x+y+z)^2=16,$$

iz čega slijedi da je $x+y+z=4$ ili $x+y+z=-4$.

1. slučaj:

Ako je $x+y+z=4$ onda je

$$x+y-z=\frac14,\qquad y+z-x=\frac54,\qquad z+x-y=\frac{10}{4}.$$

Dalje redom zbrajajući dvije po dvije jednadžbe dobije se:

$$2y=\frac64\longrightarrow y=\frac34$$ $$2x=\frac{11}{4}\longrightarrow x=\frac{11}{8}=1\frac38$$ $$2z=\frac{15}{4}\longrightarrow z=\frac{15}{8}=1\frac78$$

2. slučaj:

Ako je $x+y+z=-4$ onda je

$$x+y-z=-\frac14,\qquad y+z-x=-\frac54,\qquad z+x-y=-\frac{10}{4}.$$

Dalje redom zbrajajući dvije po dvije jednadžbe dobije se:

$$2y=-\frac64\longrightarrow y=-\frac34$$ $$2x=-\frac{11}{4}\longrightarrow x=-\frac{11}{8}=-1\frac38$$ $$2z=-\frac{15}{4}\longrightarrow z=-\frac{15}{8}=-1\frac78$$