5. Zadatak
Dvadeset učenika koji sudjeluju na kampu iz matematike odlučili su međusobno poslati poruke i to svaki od njih točno desetorici preostalih učenika. Odredi najmanji mogući broj obostranih poruka, tj. nađi primjer rasporeda slanja poruka u kojem je broj obostranih poruka najmanji mogući i dokaži da manji broj obostranih poruka nije moguće postići.
(Kažemo da je poruka između učenika i obostrana ako vrijedi da je učenik poslao poruku učeniku i da je učenik poslao poruku učeniku .)
Ukupno je upućeno poruka, a parova učenika ima
Zato barem poruka mora biti poslano između istih parova učenika pa je najmanji mogući broj obostranih poruka barem 10.
Konstruirajmo sada raspored poslanih poruka tako da je broj obostranih poruka točno 10.
Neka su učenici poredani ukrug i neka je svatko poslao poruku deset učenika koji se nalaze u krugu nakon njega u smjeru kazaljke na satu. Uočimo da će u tom rasporedu slanja poruka samo učenici koji su jedan nasuprot drugoga (dijametralno suprotni) poslati obostrane poruke.
(Svaka točka predstavlja jednog učenika, a orijentirana dužina jednostranu poruku.)
Time je konstruiran traženi raspored poruka za koje je broj obostranih poruka točno 10.
Iz navedenog možemo zaključiti da je najmanji mogući broj obostranih poruka jednak 10.