3. Zadatak

Prvi način:

Transformirajmo polaznu jednadžbu:

$$m\cdot n-p\cdot m-q\cdot n+p\cdot q=p\cdot q,$$ $$(m-q)(n-p)=p\cdot q.$$

Iz toga slijedi da $m-q$ i $n-p$ moraju biti istog predznaka. Također, očito je $m\ne q$ i $n\ne p$, jer je $p\cdot q>0$.

Iz polazne jednadžbe slijedi da ne može biti $m<q$ i $n<p$. Naime, kada bi to bio slučaj, onda bi iz polazne jednadžbe slijedilo

$$m\cdot n=p\cdot m+q\cdot n>m\cdot n+m\cdot n=2\cdot m\cdot n,$$

odnosno $m\cdot n<0$, što je u suprotnosti s pretpostavkom da su $m$ i $n$ prirodni brojevi.

Dakle, $m-q$ i $n-p$ moraju biti pozitivni*, te imamo četiri mogućnosti:

$$\begin{aligned} m-q&=pq,\qquad n-p=1, &&(1)\\ m-q&=p,\qquad n-p=q, &&(2)\\ m-q&=q,\qquad n-p=p, &&(3)\\ m-q&=1,\qquad n-p=pq. &&(4) \end{aligned}$$

Iz (1) dobivamo rješenje $(m,n)=(pq+q,p+1)$,

iz (2) dobivamo rješenje $(m,n)=(p+q,p+q)$,

iz (3) dobivamo rješenje $(m,n)=(2q,2p)$,

a iz (4) dobivamo rješenje $(m,n)=(q+1,pq+p)$.

*Napomena: Učenica/učenik ne mora odmah uočiti da može eliminirati slučajeve kada su $m-q$ i $n-p$ negativni. U tom će slučaju imati osam umjesto četiri slučaja, ali svi slučajevi kad su $m-q$ i $n-p$ negativni neće rezultirati rješenjem.

Drugi način:

Riješimo jednadžbu po varijabli $m$:

$$m=\frac{qn}{n-p}.$$

Dalje imamo:

$$m=\frac{qn-pq+pq}{n-p} =\frac{q(n-p)}{n-p}+\frac{pq}{n-p} =q+\frac{pq}{n-p}.$$

Kao u prethodnom načinu rješavanja, zaključujemo da su $m-q$ i $n-p$ pozitivni**. Zato imamo četiri mogućnosti:

$$\begin{aligned} n-p&=1, &&(1)\\ n-p&=q, &&(2)\\ n-p&=p, &&(3)\\ n-p&=pq. &&(4) \end{aligned}$$

Iz (1) dobivamo rješenje $(m,n)=(pq+q,p+1)$,

iz (2) dobivamo rješenje $(m,n)=(p+q,p+q)$,

iz (3) dobivamo rješenje $(m,n)=(2q,2p)$,

a iz (4) dobivamo rješenje $(m,n)=(q+1,pq+p)$.

**Napomena: Kao i u prvom načinu rješavanja, učenica/učenik ne mora odmah uočiti da može eliminirati slučajeve kada su $m-q$ i $n-p$ negativni. U tom će slučaju imati osam umjesto četiri slučaja, ali svi slučajevi kad su $m-q$ i $n-p$ negativni neće rezultirati rješenjem.