1. Zadatak

Prvi način:

Označimo: $|P_1P_2|=m$, $|FE|=x$, $|ES|=y$, $|A_5A_4|=a$.

Tada je površina šesterokuta $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ jednaka

$$P_6=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4},$$

a površina trokuta $\triangle A_1P_2P_1$ je

$$P_3=\frac{m\cdot(a+x+y)}{2}.$$ $$|P_1P_2|=m=|A_5E|=v \quad\text{i}\quad |FE|=x=\frac14a,$$

jer je $\overline{P_1P_2}$ srednjica trokuta $\triangle A_5A_3A_4$.

$$|ES|=y=\frac12a,$$

jer je $y$ duljina katete nasuprot kutu od $30^\circ$ u pravokutnom trokutu $\triangle A_5ES$ s hipotenuzom duljine $a$. Slijedi

$$P_3 =\frac{v\left(a+\frac14a+\frac12a\right)}{2} =\frac{\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\frac{7a}{4}}{2} =\frac{7a^2\sqrt3}{16},$$

pa je traženi omjer jednak:

$$P_3:P_6 =\left(\frac{7a^2\sqrt3}{16}\right):\left(6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\right) =\frac{7}{16}:\frac{6}{4} =\frac{7}{24}.$$

Drugi način:

Neka je duljina stranica šesterokuta $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ jednaka $a$, tj. $|A_1A_2|=a$.

$P_1$ i $P_2$ su polovišta stranica trokuta $\triangle A_5A_3A_4$, pa je $\overline{P_1P_2}$ srednjica trokuta $\triangle A_5A_3A_4$.

Neka je točka $E$ sjecište dužina $\overline{A_5A_3}$ i $\overline{A_4S}$, a točka $F$ sjecište dužina $\overline{P_1P_2}$ i $\overline{A_4S}$.

Tada vrijedi da je:

$$|P_1P_2|=\frac12|A_5A_3|=|A_5E|=v=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Uočimo da je trokut $\triangle P_1SP_2$ jednakostraničan trokut sa stranicama duljine $\frac{a\sqrt3}{2}$.

Dužina $\overline{FS}$ je visina tog jednakostraničnog trokuta, pa vrijedi:

$$|FS|=\frac12v\sqrt3 =\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3 =\frac{3a}{4}.$$

Tada je površina šesterokuta $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ jednaka

$$P_6=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4},$$

a površina trokuta $\triangle A_1P_2P_1$ je

$$P_3=\frac12\cdot|P_1P_2|\cdot|FA_1| =\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\left(\frac{3a}{4}+a\right) =\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\frac{7a}{4} =\frac{7a^2\sqrt3}{16}.$$

Iz dobivenih površina slijedi da je traženi omjer jednak:

$$P_3:P_6 =\left(\frac{7a^2\sqrt3}{16}\right):\left(6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\right) =\frac{7}{16}:\frac{6}{4} =\frac{7}{24}.$$