4. Zadatak

Neka je $T_1$ točka dirališta kružnice upisane trokutu $\triangle AHC$ i stranice $\overline{AC}$, a $T_2$ točka dirališta kružnice upisane trokutu $\triangle AHC$ i stranice $\overline{AH}$.

Promotrimo pravokutne trokute $\triangle AS_1T_1$ i $\triangle AT_2S_1$. Oni imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{AS_1}$, sukladne prave kutove $\angle S_1T_1A\cong\angle AT_2S_1$ i jednake duljine stranica $|S_1T_1|=|S_1T_2|$.

Dakle trokuti $\triangle AS_1T_1$ i $\triangle AT_2S_1$ su sukladni po teoremu SSK >, stoga je $|AT_1|=|AT_2|$.

Promotrimo pravokutne trokute $\triangle CT_1S_1$ i $\triangle CS_1R$. Oni imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{CS_1}$, sukladne prave kutove $\angle CT_1S_1\cong\angle S_1RC$ i jednake duljine stranica $|S_1T_1|=|S_1R|$.

Dakle trokuti $\triangle CT_1S_1$ i $\triangle CS_1R$ su sukladni po teoremu SSK >, stoga je $|T_1C|=|RC|$.

Zatim, $|T_2H|=|RH|$ jer su to tangentne dužine povučene iz iste točke $H$ na istu kružnicu.

Sada imamo

$$|AC|=|AT_1|+|T_1C| =|AT_2|+|RC| =|AH|-|T_2H|+|CH|-|RH| =|AH|+|CH|-2|RH|.$$

Odatle slijedi

$$|RH|=\frac12\left(|AH|+|CH|-|AC|\right) =\frac12\left(|AH|+|CH|-2017\right). \tag{1}$$

Analogno, pomoću $T_3$ i $T_4$, dobivamo

$$|SH|=\frac12\left(|BH|+|CH|-|BC|\right) =\frac12\left(|BH|+|CH|-2016\right). \tag{2}$$

Prema Pitagorinom poučku imamo

$$2017^2-|AH|^2=|CH|^2=2016^2-|BH|^2,$$

odakle slijedi

$$|AH|^2-|BH|^2=2017^2-2016^2,$$

odnosno

$$|AH|-|BH| =\frac{2017^2-2016^2}{|AH|+|BH|} =\frac{(2017-2016)(2017+2016)}{|AB|} =\frac{4033}{2018}. \tag{3}$$

Konačno, iz (1), (2) i (3) slijedi

$$|RS|=|RH|-|SH| =\frac12\left(|AH|-|BH|-1\right) =\frac12\left(\frac{4033}{2018}-1\right) =\frac{2015}{4036}.$$