4. Zadatak

Budući da su $\overline{DE}$ i $\overline{EF}$ srednjice, slijedi da je četverokut $BDEF$ paralelogram. Stoga je $|\angle FED|=|\angle DBF|$. (Alternativno, možemo pokazati da su trokuti $AFE$, $FBE$, $EDC$ i $DEF$ sukladni jer su svi slični trokutu $ABC$ s koeficijentom sličnosti $1:2$).

U nastavku ćemo koristiti tvrdnju da je u svakom pravokutnom trokutu polovište hipotenuze jednako udaljeno od sva tri vrha. (Naime, proizvoljni pravokutni trokut $XYZ$ čini polovinu pravokutnika $XYZW$, a dijagonale pravokutnika su sukladne i raspolavljaju se. Ako je $S$ sjecište dijagonala, slijedi $|XS|=|YS|=|ZS|$.)

Promotrimo pravokutni trokut $BCN$. Budući da je $D$ polovište hipotenuze $\overline{BC}$ slijedi

$$|BD|=|CD|=|ND|.$$

Analogno, u pravokutnom trokutu $ABN$ točka $F$ je polovište hipotenuze, pa vrijedi

$$|AF|=|BF|=|NF|.$$

Prema SSS poučku slijedi da su trokuti $FBD$ i $FND$ sukladni, pa iz sukladnosti slijedi $|\angle DBF|=|\angle FND|$. Stoga je $|\angle FED|=|\angle DBF|=|\angle FND|$, što je trebalo i dokazati.

Napomena: Alternativno možemo dokazati da su trokuti $DEF$ i $FND$ sukladni. Budući da je $BDEF$ paralelogram vrijedi $|BF|=|DE|$ i $|BD|=|FE|$, pa zaključujemo da vrijedi $|DN|=|FE|$ i $|DE|=|FN|$.

Prema SSS poučku slijedi da su trokuti $DEF$ i $FND$ sukladni, pa iz sukladnosti slijedi $|\angle FED|=|\angle FND|$, što je i trebalo pokazati.