3. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako razlomak možemo kratiti brojem $d$, onda je $d$ zajednički djelitelj brojnika i nazivnika.

Pretpostavimo da postoji prirodni broj $d$ koji dijeli brojeve

$$(2n+1)(4n+1)=8n^2+6n+1 \qquad\text{i}\qquad n(4n+3)=4n^2+3n.$$

Tada $d$ dijeli i broj $2\cdot(4n^2+3n)=8n^2+6n$.

Stoga postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $8n^2+6n+1=da$ i $8n^2+6n=db$.

Budući da vrijedi

$$1=(8n^2+6n+1)-(8n^2+6n)=da-db=d(a-b),$$

zaključujemo da $d$ dijeli $1$, odnosno da je $d=1$.

Dakle, zadani razlomak ne možemo kratiti prirodnim brojem većim od $1$.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo da, za prirodni broj $k$, prost broj $p$ dijeli $k$ i $k+1$. Tada postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $k=pa$ i $k+1=pb$. Slijedi da je $1=(k+1)-k=pb-pa=p(b-a)$, odnosno $p$ dijeli $1$, što nije moguće. Dakle, bilo koja dva uzastopna prirodna broja su relativno prosta.

Ako bi neki prost broj bio zajednički djelitelj brojeva $2n+1$ i $n$, onda bi taj prost broj bio i zajednički djelitelj brojeva $2n+1$ i $2n$, što nije moguće. Dakle, $D(2n+1,n)=1$.

Ako bi neki prost broj bio zajednički djelitelj brojeva $2n+1$ i $4n+3$, onda bi taj prost broj bio i zajednički djelitelj brojeva $2\cdot(2n+1)=4n+2$ i $4n+3$, što nije moguće. Dakle, $D(2n+1,4n+3)=1$.

Iz ove dvije tvrdnje zaključujemo da ne postoji prost broj koji dijeli $2n+1$ te bilo koji od brojeva $n$ i $4n+3$, pa stoga vrijedi $D(2n+1,n(4n+3))=1$.

Ako bi neki prost broj bio zajednički djelitelj brojeva $4n+1$ i $n$, onda bi taj prost broj bio i zajednički djelitelj brojeva $4n+1$ i $4n$, što nije moguće. Dakle, $D(4n+1,n)=1$.

Ako bi neki prost broj bio zajednički djelitelj brojeva $4n+1$ i $4n+3$, onda bi taj prost broj dijelio i njihovu razliku koja iznosi $2$. Taj prost broj bi morao biti $2$, ali to nije moguće jer su brojevi $4n+1$ i $4n+3$ neparni. Dakle, $D(4n+1,4n+3)=1$.

Iz ove dvije tvrdnje zaključujemo $D(4n+1,n(4n+3))=1$.

Konačno, kako ne postoji prost broj koji dijeli $n(4n+3)$ te bilo koji od brojeva $2n+1$ i $4n+1$, slijedi $D((2n+1)(4n+1),n(4n+3))=1$.

Zaključujemo da je $1$ jedini zajednički djelitelj brojnika i nazivnika zadanog razlomka, pa se razlomak ne može kratiti prirodnim brojem većim od $1$.

Napomena: Brojevi $4n$, $4n+1$, $4n+2$ i $4n+3$ uzastopni su prirodni brojevi, te smo ideju za prethodno rješenje mogli dobiti promatranjem razlomka

$$\frac{(4n+2)(4n+1)}{4n(4n+3)} =\frac{(2n+1)(4n+1)}{2n(4n+3)},$$

koji se od zadanog razlikuje samo u dodatnom faktoru $2$ u nazivniku.

Za bilo koja dva prirodna broja $a$ i $b$ takva da je $a>b$ vrijedi $D(a,b)=D(a-b,b)$. Također, za svaki prirodni broj $k$ vrijedi $D(1,k)=1$. Stoga smo mogli računati:

$$D(2n+1,n)=D(n+1,n)=D(1,n)=1.$$ $$D(4n+3,2n+1)=D(2n+2,2n+1)=D(1,2n+1)=1.$$ $$D(4n+1,n)=D(3n+1,n)=D(2n+1,n)=D(n+1,n)=D(1,n)=1.$$

Također, vrijedi $D(4n+3,4n+1)=D(2,4n+1)$, a budući da je $4n+1$ neparan broj slijedi $D(2,4n+1)=1$.

Dakle, faktori koji se pojavljuju u brojniku zadanog razlomka nemaju nijedan zajednički djelitelj veći od $1$ s faktorima u nazivniku, pa zaključujemo da se razlomak ne može kratiti prirodnim brojem većim od $1$.