1. Zadatak

Marica je zapisala jedan prirodni broj, a zatim još nekoliko brojeva. Svaki sljedeći broj za $5$ je manji od dvostruke vrijednosti broja koji je zapisan neposredno prije njega. Zbroj prvog i četvrtog zapisanog broja iznosi $28$ . Koliko je najviše brojeva Marica mogla zapisati ako razlika između posljednja dva zapisana broja nije veća od $500$ ?

Rješenje

Označimo redom s $a$ , $b$ , $c$ i $d$ prva četiri napisana broja. Tada je $b=2a-5$ , te vrijedi

c=2(2a-5)-5=4a-15 \qquad\text{i}\qquad d=2(4a-15)-5=8a-35.

Budući da je $a+d=28$ , dobivamo jednadžbu

a+8a-35=28

za vrijednost prvog zapisanog broja, čije rješenje je $a=7$ .

Brojeve koje je Marica zapisala kao i razlike susjednih brojeva, zapisujemo u tablicu.

redni broj	zapisani broj	razlika posljednja dva broja
$1.$	$7$	(nema)
$2.$	$2\cdot7-5=9$	$9-7=2$
$3.$	$2\cdot9-5=13$	$13-9=4$
$4.$	$2\cdot13-5=21$	$21-13=8$
$5.$	$2\cdot21-5=37$	$37-21=16$
$6.$	$2\cdot37-5=69$	$69-37=32$
$7.$	$2\cdot69-5=133$	$133-69=64$
$8.$	$2\cdot133-5=261$	$261-133=128$
$9.$	$2\cdot261-5=517$	$517-261=256$
$10.$	$2\cdot517-5=1029$	$1029-517=512$

Dakle, Marica je mogla zapisati najviše $9$ brojeva.