2. Zadatak

Četverokut $ABCD$ je trapez. Neka je $a=|AB|$, $c=|CD|$ i $v$ visina trapeza.

Prema poučku o kutovima uz presječnicu vrijedi $|\angle DBA|=|\angle BDC|$ i $|\angle BAC|=|\angle DCA|$. Stoga su, prema K-K poučku, trokuti $ABE$ i $ECD$ slični.

Neka su $x$ i $y$ redom duljine visine trokuta $ABE$ i $ECD$ iz vrha $E$.

Tada je $x+y=v$ i vrijedi

$$\frac{ax}{2}=72,\qquad \frac{cy}{2}=50.$$

Neka je $k$ koeficijent sličnosti trokuta $ABE$ i $ECD$, tako da je $a:b=x:y=k$.

Tada za površine tih trokuta vrijedi $P(ABE):P(ECD)=k^2$.

Slijedi $k^2=72:50=1.44$, odnosno $k=1.2$. Stoga je $a=1.2c$ i $x=1.2y$.

Površina trapeza je

$$P(ABCD)=\frac{a+c}{2}\cdot v.$$

Naime, trapez možemo sukladnim trapezom nadopuniti do paralelograma čija je površina $(a+c)\cdot v$, a površina trapeza jednaka je polovini površine tog paralelograma.

Dakle, vrijedi

$$P(ABCD) =\frac{1.2c+c}{2}\cdot(1.2y+y) =\frac{2.2c}{2}\cdot(2.2y) =2.2^2\cdot\frac{cy}{2} =4.84\cdot50 =242.$$