5. Zadatak

Prvi način: Algebarski pristup.

Potrebno je odrediti udaljenost točke C od pravca AB.

Skica:

Nacrtamo paralelu s promjerom $\overline{AB}$ kroz C te neka je $x=|AC|=|BE|$.

Dobijemo pravokutan trokut CED s hipotenuzom $\overline{CD}$ duljine 5 cm i katetom $\overline{CE}$ duljine 4 cm.

Primjenom Pitagorinog poučka izračunamo duljinu druge katete $\overline{ED}$ te vrijedi $|DE|=3\text{ cm}$.

Dužina $\overline{CF}$ je duljine $x$ jer su trokuti AOC i FOC sukladni. (Pravokutni trokuti nad istom hipotenuzom $\overline{OC}$ - sukladne dvije odgovarajuće stranice i sukladni kutovi nasuprot veće stranice.)

Dužina $\overline{FD}$ je duljine $x+3$ jer su trokuti BOD i FOD sukladni. (Pravokutni trokuti nad istom hipotenuzom $\overline{OD}$ - sukladne dvije odgovarajuće stranice i sukladni kutovi nasuprot veće stranice.)

Iz gornje dvije tvrdnje slijedi $x+x+3=5$ odnosno $2x+3=5$ pa je $x=1\text{ cm}$.

Kako tražene udaljenosti možemo nanijeti na četiri različita načina moguća su četiri rješenja za tangentu.

Drugi način: Konstrukcijom.

1. Nacrtamo kružnicu $k$ sa središtem $O$ promjera 4 cm.
2. Na kružnici $k$ odaberemo promjer $\overline{AB}$.
3. Točkom A konstruiramo okomicu na promjer, tj. tangentu $t_A$ kružnice $k$ u točki A.
4. Točkom B konstruiramo okomicu na promjer, tj. tangentu $t_B$ kružnice $k$ u točki B.
5. Na tangenti $t_A$ odaberemo proizvoljnu točku P.
6. Nacrtamo kružnicu $k_1(P,5\text{ cm})$.
7. Kružnica $k_1$ i tangenta $t_B$ sijeku se u dvije točke $R_1$ i $R_2$.
8. Točkom O konstruiramo okomicu $o'$ na pravac $PR_1$.
9. Kružnica $k$ i pravac $o'$ sijeku se u točkama 1 i 2, koje su dirališta traženih tangenti.
10. Točkom 1 konstruiramo paralelu s pravcem $PR_1$, to je tangenta $t_{C_1}$.
11. Točkom 2 konstruiramo paralelu s pravcem $PR_1$, to je tangenta $t_{C_2}$.
12. Točkom O konstruiramo okomicu $o''$ na pravac $PR_2$.
13. Kružnica $k$ i pravac $o''$ sijeku se u točkama 3 i 4, koje su dirališta traženih tangenti.
14. Točkom 3 konstruiramo paralelu s pravcem $PR_2$, to je tangenta $t_{C_3}$.
15. Točkom 4 konstruiramo paralelu s pravcem $PR_2$, to je tangenta $t_{C_4}$.