2. Zadatak

Prvi način:

Pretpostavimo da je $a>b$.

Kako su $a$ i $b$ iz skupa $\{1,2,3,4,\ldots,25,26\}$ i njihov umnožak je jednak zbroju preostala 24 broja, vrijedi

$$a+b+a\cdot b=1+2+3+4+\ldots+25+26$$

odnosno

$$a+b+a\cdot b=351.$$

S obje strane jednakosti dodajemo 1 pa vrijedi

$$a+b+a\cdot b+1=352.$$

Faktorizacijom lijeve strane dobivamo

$$(1+b)\cdot(1+a)=352.$$

Znači, broj 352 je umnožak neka dva prirodna broja $a+1$ i $b+1$.

Rastavljanjem broja 352 na proste faktore dobivamo

$$352=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot11.$$

Brojevi $a$ i $b$ su iz skupa $\{1,2,3,4,\ldots,25,26\}$, $a>b$, pa slijedi da je $a+1=22$ i $b+1=16$.

Nadalje, $a=21$ i $b=15$.

Slično se za $a<b$ dobije $a=15$ i $b=21$.

U oba slučaja slijedi $|a-b|=6$.

Drugi način:

Pretpostavimo da je $a>b$.

Kako su $a$ i $b$ iz skupa $\{1,2,3,4,\ldots,25,26\}$ i njihov umnožak je jednak zbroju preostalih 24 broja, vrijedi

$$a+b+a\cdot b=1+2+3+4+\ldots+25+26$$

odnosno

$$a+b+a\cdot b=351.$$

Nadalje je

$$a\cdot b+a=351-b$$ $$a\cdot(b+1)=351-b$$ $$a=\frac{351-b}{b+1}=\frac{-(b+1)+352}{b+1}=\frac{-(b+1)}{b+1}+\frac{352}{b+1}=-1+\frac{352}{b+1}.$$

To znači da $b+1$ mora biti djelitelj broja 352.

Rastavljanjem broja 352 na proste faktore dobivamo

$$352=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot11.$$

Brojevi $a$ i $b$ su iz skupa $\{1,2,3,4,\ldots,25,26\}$, $a>b$, pa slijedi da je $b+1=16$ odnosno $b=15$.

Nadalje,

$$a=-1+\frac{352}{b+1}=-1+22=21.$$

Slično se za $a<b$ dobije $a=15$ i $b=21$.

U oba slučaja slijedi $|a-b|=6$.

Treći način:

Pretpostavimo da je $a>b$.

Kako su $a$ i $b$ iz skupa $\{1,2,3,4,\ldots,25,26\}$ i njihov umnožak je jednak zbroju preostala 24 broja, vrijedi

$$a+b+a\cdot b=1+2+3+4+\ldots+25+26$$

odnosno

$$a+b+a\cdot b=351.$$

Tada vrijedi:

1. $3\leq a+b\leq51\Rightarrow300\leq ab\leq348$;
2. $a$ i $b$ ne mogu istovremeno biti parni.

Promotrimo parove koji zadovoljavaju 1. i 2.:

• za $a=26\Rightarrow b=13$, ali $26\cdot13+26+13=338+39=377>351$;
• za $a=25\Rightarrow b=12$ ili 13, ali $25\cdot12+25+12=300+37=337<351$; $25\cdot13+25+13=325+38=363>351$;
• za $a=24\Rightarrow b=13$, ali $24\cdot13+24+13=312+37=349<351$;
• za $a=23\Rightarrow b=14$ ili 15, ali $23\cdot14+23+14=322+37=359>351$; $23\cdot15+23+15=345+38=383>351$;
• za $a=22\Rightarrow b=15$, ali $22\cdot15+22+15=330+37=367>351$;
• za $a=21\Rightarrow b=15$ ili 16, i vrijedi $21\cdot15+21+15=315+36=351$ (rješenje!); dok je $21\cdot16+21+16=336+37=373>351$;
• za $a=20\Rightarrow b=15$ ili 17, ali $20\cdot15+20+15=300+35=335<351$; $20\cdot17+20+17=340+37=377>351$;
• za $a=19\Rightarrow b=16$, 17 ili 18, ali $19\cdot16+19+16=304+35=339<351$; $19\cdot17+19+17=323+36=359>351$; $19\cdot18+19+18=342+37=379>351$;
• za $a=18\Rightarrow b=17$, ali $18\cdot17+18+17=306+35=341<351$.

Dakle, jedino moguće rješenje je $a=21$, $b=15$.

Slično se za $a<b$ dobije $a=15$ i $b=21$.

U oba slučaja slijedi $|a-b|=6$.