3. Zadatak

Prvi način:

Neka je bilo $m$ muškaraca. Broj rukovanja može se prikazati formulom

$$\frac{m\cdot(m-1)}{2}.$$

Iz jednadžbe

$$\frac{m\cdot(m-1)}{2}=78$$

dobije se kvadratna jednadžba $m^2-m-156=0$.

Iz rastava

$$(m-13)\cdot(m+12)=0$$

vidi se da su rješenja jednadžbe $m_1=13$ i $m_2=-12$.

Broj $m$ mora biti prirodni broj pa se zaključi da je na večeri bilo 13 muškaraca.

Neka je $n$ broj dama na večeri. Broj poljubaca među damama se može iskazati kao $n\cdot(n-1)$, a broj poljubaca između muškaraca i dama s $13\cdot n$.

Iz

$$n\cdot(n-1)+13n=288$$

sređivanjem se dobije kvadratna jednadžba $n^2+12n-288=0$.

Rastavom

$$(n-12)\cdot(n+24)=0$$

dolazi se do rješenja jednadžbe $n_1=12$ i $n_2=-24$.

Kako i $n$ mora biti prirodan broj, očito je na večeri bilo 12 dama.

Ukupno je na večeri bilo 25 osoba.

Drugi način:

Neka je bilo $m$ muškaraca. Broj rukovanja može se prikazati formulom

$$\frac{m\cdot(m-1)}{2}.$$

Iz jednadžbe

$$\frac{m\cdot(m-1)}{2}=78$$

dobijemo broj muškaraca:

$$m\cdot(m-1)=2\cdot2\cdot3\cdot13$$ $$m\cdot(m-1)=13\cdot12$$ $$m=13.$$

Na večeri je bilo 13 muškaraca.

Neka je $n$ broj dama na večeri. Broj poljubaca među damama se može iskazati kao $n\cdot(n-1)$, a broj poljubaca između muškaraca i dama s $13\cdot n$.

Iz jednadžbe

$$n\cdot(n-1)+13n=288$$

dobijemo broj dama:

$$n\cdot(n-1+13)=288$$ $$n\cdot(n+12)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3$$ $$n\cdot(n+12)=12\cdot24$$ $$n=12.$$

Na večeri je bilo 12 dama.

Ukupno je na večeri bilo 25 osoba.