4. Zadatak

Skica:

$\triangle ABT$ je jednakokračan te visina iz vrha $T$ dijeli osnovicu $\overline{AB}$ na dva jednaka dijela.

Tada je $a=|AB|$, $\frac{a}{2}=|NB|$, $|TN|=4$ te je

$$P(\triangle ABT)=\frac{a\cdot4}{2}=2a.$$

$\triangle CDT$ je jednakokračan te visina iz vrha $T$ dijeli osnovicu $\overline{CD}$ na dva jednaka dijela.

Tada je $b=|CD|$, $\frac{b}{2}=|MC|$, $|TM|=2$ te je

$$P(\triangle CDT)=\frac{b\cdot2}{2}=b.$$

Iz zadanog omjera površina $P(\triangle ABT):P(\triangle CDT)=9:4$ dobijemo:

$$2a:b=9:4$$ $$9b=8a$$ $$b=\frac{8}{9}a.$$

U trokutu $\triangle ABT$ vrijedi $\overline{TN}\perp\overline{AB}$, a u trokutu $\triangle CDT$ vrijedi $\overline{TM}\perp\overline{CD}$.

Slijedi da je $\overline{MC}\parallel\overline{TN}$ i $\overline{TM}\parallel\overline{NB}$ pa su trokuti $\triangle NBT$ i $\triangle MTC$ slični prema poučku K-K o sličnosti.

Iz sličnosti vrijedi proporcija:

$$|NB|:|TN|=|TM|:|MC|$$ $$\frac{a}{2}:4=2:\frac{b}{2}$$ $$\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=8$$ $$ab=32.$$

Uvrstimo li $b=\frac{8}{9}a$ u jednadžbu $ab=32$ slijedi:

$$a\cdot\frac{8}{9}a=32$$ $$8a^2=288$$ $$a^2=36$$ $$a=6.$$

Koordinate točke $N$ su $N(2,0)$, a kako je točka $N$ polovište dužine $\overline{AB}$, slijedi da su koordinate točaka $A$ i $B$ jednake $A(-1,0)$, $B(5,0)$.

Pravac $p$ zadan je točkama $A(-1,0)$ i $T(2,4)$ i neka je njegova jednadžba $y=a_1x+b_1$.

Tada je:

$$0=a_1\cdot(-1)+b_1$$ $$4=a_1\cdot2+b_1$$

a rješavanjem tog sustava jednadžbi slijedi $a_1=\frac{4}{3}$, $b_1=\frac{4}{3}$.

Dakle, $p:\ y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$.

Pravac $t$ zadan je točkama $B(5,0)$ i $T(2,4)$ i neka je njegova jednadžba $y=a_2x+b_2$.

Tada je:

$$0=a_2\cdot5+b_2$$ $$4=a_2\cdot2+b_2$$

a rješavanjem tog sustava jednadžbi slijedi $a_2=-\frac{4}{3}$, $b_2=\frac{20}{3}$.

Dakle, $t:\ y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$.

Napomena: Na skici su se mogli postaviti zamijenjeni položaji pravaca $p$ i $t$, točaka $A$ i $B$ te točaka $C$ i $D$. Tada će i rješenja imati zamijenjene vrijednosti.