4. Zadatak
Marijan piše brojeve po školskoj ploči. Na početku je na praznu ploču napisao brojeve , , i . U svakom koraku Marijan obriše s ploče tri broja , i , te na ploču napiše brojeve , i .
Može li Marijan konačnim brojem takvih koraka postići da na ploči budu brojevi:
a) , , i ?
b) , , i ?
Rješenje
a) Označimo brojeve koji su, u nekom trenutku, na ploči, s , , i .
Ako Marijan odabere brojeve , i , on ih mijenja s , i . Nakon tog koraka, zbroj brojeva na ploči je opet .
Dakle, prilikom svakog poteza zbroj brojeva na ploči ostaje isti.
Budući da zbroj prva četiri broja na ploči iznosi , a , Marijan ne može postići da na ploči budu brojevi , , i .
b) Svi brojevi na početku daju ostatak pri dijeljenju s . Koje god tri broja , i odabrao Marijan, novi brojevi , i ponovno imaju svojstvo da svaki od njih, a time i sva četiri na ploči, daju opet ostatak pri dijeljenju s .
Budući da broj (i broj ) ne daju ostatak pri dijeljenju s , Marijan ne može postići da na ploči budu brojevi , , i .