2. Zadatak

Neka je $a$ duljina stranice pravilnog osmerokuta.

Veličina vanjskog kuta pravilnog osmerokuta iznosi $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $S$ i vrijedi $|\angle CSB|=90^\circ$, pa su trokuti $BSC$, $ASC$ i $ASD$ pravokutni.

Neka je $x=|BS|=|SC|$. Primjenom Pitagorina poučka na trokut $BSC$ slijedi

$$x^2+x^2=a^2,\qquad\text{tj.}\qquad x=\frac{a\sqrt2}{2}.$$

Neka je $y=|AC|$. Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ASC$ slijedi

$$y^2=(a+x)^2+x^2,\qquad\text{tj.}\qquad y=a\sqrt{2+\sqrt2}.$$

Neka je $z=|AD|$. Primjenom Pitagorina poučka na trokut $ASD$ slijedi

$$z^2=2(a+x)^2,\qquad\text{tj.}\qquad z=a\sqrt{3+2\sqrt2}.$$

Konačno zaključujemo

$$\frac{y}{z} =\frac{a\sqrt{2+\sqrt2}}{a\sqrt{3+2\sqrt2}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{3+2\sqrt2}\cdot\frac{3-2\sqrt2}{3-2\sqrt2}} =\sqrt{2-\sqrt2}.$$