5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $\alpha$ mjera vršnog kuta nad kružnim lukom $\widehat{EB}$.

Tada je mjera pripadnog središnjeg kuta $2\alpha$.

Trokut $CBD$ je jednakokračan, mjere kutova uz osnovicu su $\alpha$, a mjera kuta nasuprot osnovice $180^\circ-2\alpha$.

Trokut $OBF$ je jednakokračan, $\overline{OB}$ je osnovica, mjere kutova uz osnovicu su $180^\circ-2\alpha$.

Prema uvjetu zadatka točka $C$ polovište je dužine $\overline{OB}$, pa je trokut $CBF$ pravokutan trokut.

Stranica $\overline{AB}$ trokuta $ABD$ promjer je kružnice, a točka $D$ pripada toj kružnici, pa je trokut $ABD$ pravokutan.

Pravokutni trokuti $ABD$ i $CBF$ imaju zajednički kut, stranice $\overline{CB}$ i $\overline{BD}$ su sukladne, pa su ti trokuti sukladni po poučku K-S-K.

Iz sukladnosti slijedi $|AB|=|BF|$.

Drugo rješenje.

Na isti način kao u prvom rješenju pokazuje se da je trokut $OBF$ jednakokračan.

Neka je $|BD|=|BC|=d$.

Trokut $BDO$ je jednakokračan s osnovicom $\overline{BD}$.

Duljine krakova tog trokuta su $2d$, a duljina osnovice $d$.

Trokuti $OBF$ i $BDO$ su jednakokračni trokuti, a mjere kutova uz osnovicu su im iste, pa su slični po poučku K-K.

Osnovica trokuta $OBF$ ima duljinu $2d$, a osnovica trokuta $BDO$ ima duljinu $d$, pa je koeficijent sličnosti $2$.

Krakovi trokuta $BDO$ imaju duljinu $2d$, pa krakovi trokuta $OBF$ imaju duljinu $4d$, tj. $|BF|=4d$.

Budući da je $|AB|=2|BO|=4d$, slijedi $|AB|=|BF|$.