3. Zadatak

Neka su $x$ i $y$ traženi brojevi.

Prema uvjetu zadatka vrijedi

$$xy+\frac{x}{y}+(x+y)+(x-y)=450,$$

odnosno

$$xy+\frac{x}{y}+2x=450.$$

Ako izlučimo $x$ i svedemo na zajednički nazivnik $y$ dobivamo

$$x\cdot\frac{y^2+1+2y}{y}=450.$$

Izraz u brojniku je kvadrat binoma, tj. vrijedi

$$x(y+1)^2=450y,$$

iz čega zaključujemo da $(y+1)^2$ dijeli $450y$.

No, najveći zajednički djelitelj brojeva $y$ i $y+1$ je $1$ (inače bi zajednički djelitelj dijelio i njihovu razliku $y+1-y=1$), pa su brojevi $y$ i $(y+1)^2$ relativno prosti.

Stoga $(y+1)^2$ dijeli $450$.

Iz rastava $450=2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5$ na proste faktore, zaključujemo da vrijedi $(y+1)^2\in\{1,9,25,225\}$.

Ako je $(y+1)^2=1$, slijedi da je $y=0$, a to nije prirodan broj.

Ako je $(y+1)^2=9$, slijedi da je $y=2$, a tada je $x=100$.

Ako je $(y+1)^2=25$, slijedi da je $y=4$, a tada je $x=72$.

Ako je $(y+1)^2=225$, slijedi da je $y=14$, a tada je $x=28$.