3. Zadatak

Označimo duljine kateta i hipotenuze na uobičajen način: $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$.

Primijenimo li Pitagorin poučak na pravokutne trokute $APC$ i $BCQ$, dobivamo sljedeće dvije jednakosti:

$$\frac{a^2}{4}+b^2=|AP|^2=25,$$ $$a^2+\frac{b^2}{4}=|BQ|^2=40.$$

Zbrajanjem tih dviju jednakosti slijedi jednakost $\frac54(a^2+b^2)=65$.

Međutim, zbog Pitagorinog poučka je $a^2+b^2=c^2$, pa uvrštavanjem u prethodnu jednakost dobivamo da je $\frac54c^2=65$, odnosno $c^2=52$.

Konačno, $c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm.