4. Zadatak

Neka su $D$, $E$, $F$ redom nožišta okomica iz točke $T$ na stranice $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ kao na slici:

Prema uvjetu zadatka je $|TD|=1$, $|TE|=2$ i $|TF|=3$. Prikažimo sada površinu trokuta $ABC$ kao zbroj površina triju trokuta:

$$P(ABC)=P(ABT)+P(BCT)+P(CAT).$$

Kako je površina trokuta jednaka umnošku duljina stranice i visine, imamo da je

$$\begin{aligned} P(ABC)&=\frac{a\cdot|TD|}{2}+\frac{a\cdot|TE|}{2}+\frac{a\cdot|TF|}{2} \\ &=\frac a2(|TD|+|TE|+|TF|)=\frac a2(1+2+3)=3a. \end{aligned}$$

S druge strane, površina jednakostraničnog trokuta je $P(ABC)=\frac{a^2\sqrt3}{4}$, pa izjednačavanjem dobivenih dvaju izraza za površinu slijedi da je $\frac{a^2\sqrt3}{4}=3a$, odakle je $a=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$.

Konačno, iz formule za površinu trokuta dobivamo $P(ABC)=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{48\sqrt3}{4}=12\sqrt3$ cm².