5. Zadatak

Zapišimo dani izraz u drugom obliku, služeći se formulom za kvadrat zbroja:

$$\begin{aligned} 4x^2+4xy+4y^2+12x+8 &= x^2+4xy+4y^2+3x^2+12x+12-4 \\ &= (x+2y)^2+3(x^2+4x+4)-4 \\ &= (x+2y)^2+3(x+2)^2-4. \end{aligned}$$

Kako je kvadrat broja uvijek nenegativan, zaključujemo da je $(x+2y)^2\geq0$ i $(x+2)^2\geq0$, pa se najmanja vrijednost postiže kada je $(x+2y)^2=(x+2)^2=0$, te je ona jednaka $-4$.

Najmanja vrijednost se postiže kada je $x+2y=0$ i $x+2=0$. Iz druge jednadžbe slijedi da je $x=-2$, a iz prve $y=-\frac x2=-\frac{-2}{2}=1$.