4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo duljinu kraće stranice pločice sa $x$. Tada je dulja stranica, koja je tri puta veća, $3x$, pa je opseg pločice $x + 3x + x + 3x = 96\ \text{cm}$, odnosno vrijedi $8x = 96$. Stoga, duljina kraće stranice iznosi $x = 96 : 8 = 12\ \text{cm}$, a dulje stranice $3x = 3 \cdot 12 = 36\ \text{cm}$.

Razmak od $2\ \text{cm}$ između pločica, odnosno od $1\ \text{cm}$ između pločice i ruba možemo ostvariti tako da zamislimo da smo pločicu sa svake strane proširili s $1\ \text{cm}$ razmaka, te zapravo slažemo tako proširene pločice dimenzija $14\ \text{cm} \times 38\ \text{cm}$ bez razmaka.

Površina zida iznosi $532 \cdot 266\ \text{cm}^2$, a površina proširene pločice iznosi $38 \cdot 14 = 532\ \text{cm}^2$, pa je ukupno potrebno $266$ pločica.

Visina zida je $266\ \text{cm}$. Ako pločice postavljamo tako da je visina proširene pločice $14\ \text{cm}$, tada je ukupan broj redova postavljenih pločica jednak količniku visine zida i visine pločice, tj. imamo $266 : 14 = 19$ redova.

Analogno, ako pločice postavljamo tako da je visina proširene pločice $38\ \text{cm}$, tada je ukupan broj redova postavljenih pločica jednak $266 : 38 = 7$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju odredimo da su dimenzije pločica $12\ \text{cm}$ i $36\ \text{cm}$.

Pločice se na zid mogu slagati na dva načina: usporedno visini zida duljom stranicom ili usporedno visini zida kraćom stranicom.

Prvi slučaj. Ako se pločice slažu usporedno visini zida duljom stranicom, onda visinu od $266\ \text{cm}$ ostvarujemo kao zbroj

$$266 = 1 + 36 + 2 + 36 + 2 + \ldots + 36 + 1,$$

pri čemu se pribrojnik $36$ pojavljuje onoliko puta koliko ima redova pločica, a pribrojnik $2$ jednom manje. Neka je broj redova $r$. Tada je $266 = 1 + 36r + 2(r - 1) + 1$, odnosno $266 = 38r$. Stoga je u ovom slučaju $r = 266 : 38 = 7$ redova pločica.

Provjerimo da na takav način zaista možemo prekriti cijeli zid. Širinu zida od $532\ \text{cm}$ ostvarujemo kao zbroj

$$532 = 1 + 12 + 2 + 12 + 2 + \ldots + 12 + 1$$

pri čemu se pribrojnik $12$ pojavljuje onoliko puta koliko ima stupaca pločica, a pribrojnik $2$ jednom manje. Neka je broj stupaca $s$. Tada je $532 = 1 + 12s + 2(s - 1) + 1$, odnosno $532 = 14s$. Stoga je u ovom slučaju $s = 532 : 14 = 38$ stupaca pločica.

Drugi slučaj. Ako se pločice slažu usporedno visini zida kraćom stranicom, onda visinu od $266\ \text{cm}$ ostvarujemo kao zbroj

$$266 = 1 + 12 + 2 + 12 + 2 + \ldots + 12 + 1.$$

Neka je broj redova $r$. Tada je $266 = 1 + 12r + 2(r - 1) + 1$, odnosno $266 = 14r$. Stoga je u ovom slučaju $r = 266 : 14 = 19$ redova pločica.

Širinu zida od $532\ \text{cm}$ ostvarujemo kao zbroj

$$532 = 1 + 36 + 2 + 36 + 2 + \ldots + 36 + 1$$

Neka je broj stupaca $s$. Tada je $532 = 1 + 36s + 2(s - 1) + 1$, odnosno $532 = 38s$. Stoga je u ovom slučaju $s = 532 : 38 = 14$ stupaca pločica.

Budući da vrijedi $7 \cdot 38 = 19 \cdot 14 = 266$, u oba slučaja je potrebno $266$ pločica.

Napomena: Uočimo li da razmaci do ruba zida od po $1\ \text{cm}$ mogu biti brojeni kao jedan razmak od $2\ \text{cm}$ te dodani posljednjoj pločici, onda je broj pločica jednak broju razmaka od $2\ \text{cm}$ tj. broju redova po visini i broju stupaca po širini. Jednadžbe iz drugog rješenja tada odgovaraju izračunima $266 : (36 + 2) = 7$ redova i $532 : (12 + 2) = 38$ stupaca (prvi slučaj) te $266 : (12 + 2) = 19$ redova i $532 : (36 + 2) = 14$ stupaca (drugi slučaj).